1、 双曲线高考试题考点一 用双曲线的定义解决相关问题1.(2012年大纲全国卷,文10)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=()(A)(B)(C)(D)解析:由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,a=,c=2.又|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=2c=4,由余弦定理得cosF1PF2=.故选C.答案:C2.(2010年大纲全国卷,理9)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则P到x轴
2、的距离为()(A)(B)(C)(D)解析:由双曲线方程可知,a=1,b=1,c=,|F1F2|=2.由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a=2,在F1PF2中,由余弦定理有:8=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60联立解得|PF1|PF2|=4,设点P(x,y),则=|PF1|PF2|sin 60=|F1F2|y|,解得|y|=.故选B.答案:B3.(2010年大纲全国卷,文8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|=()(A)2(B)4(C)6(D)8解析:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n.则
3、mn=4.|PF1|PF2|=4.故选B.答案:B4.(2013年辽宁卷,文15)已知F为双曲线C: -=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则PQF的周长为44.答案:445.(2012年辽宁卷,文15)已知双曲线x2-y2=1,点F1、F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.解析:设P在双曲线右支
4、上,|PF2|=x(x0),则|PF1|=2+x.PF1PF2,(x+2)2+x2=(2c)2=8,即:x2+2x-2=0,解得:x=-1,x+2=+1.|PF1|+|PF2|=2.答案:26.(2010年江西卷,文15)点A(x0,y0)在双曲线-=1的右支上,若点A到右焦点的距离等于2x0,则x0=.解析:由-=1可知,a2=4,b2=32,c2=36,c=6, 右焦点F(6,0),由题意可得解方程组可得x0=或x0=2.点A在双曲线右支上,x02,x0=2.答案:27.(2009年辽宁卷,理16)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最
5、小值为.解析:由-=1知c2=4+12=16,c=4.左焦点F(-4,0),设双曲线右焦点为F(4,0),点P在双曲线右支上,|PF|-|PF|=2a=4,|PF|=4+|PF|,|PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|.由图可知,当A、P、F三点共线时,|PF|+|PA|最小,此时,(|PF|+|PA|)min =4+(|PF|+|PA|)min=4+|AF|=4+=4+5=9.答案:9考点二 双曲线标准方程的求法1.(2012年湖南卷,文6)已知双曲线C: -=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()(A) -=1(B) -=1(C) -=1(D) -=1解析: -
6、=1的焦距为10,c=5=. 又双曲线渐近线方程为y=x,且P(2,1)在渐近线上,=1,即a=2b.由解得a=2,b=,故选A.答案:A2.(2011年山东卷,理8)已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()(A) -=1(B) -=1(C) -=1(D) -=1解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=x,圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切,即直线bx-ay=0与圆C相切,=2,5b2=4a2.又-=1的右焦点F2(,0)为圆心C(3,0),a2+b2=9.
7、由得a2=5,b2=4.双曲线的标准方程为-=1.故选A.答案:A3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1(B) -=1(C)-=1(D) -=1解析:kAB=1,直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(-12),a2=-4a2+4b2,5a2=4
8、b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线E的方程为-=1.故选B.答案:B4.(2012年天津卷,文11)已知双曲线C1: -=1(a0,b0)与双曲线C2: -=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.解析:与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=,即-=1.由题意知c=,则4+16=5=,则a2=1,b2=4,又a0,b0.故a=1,b=2.答案:12考点三 双曲线离心率的求法1.(2013年重庆卷,文10)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线
9、C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()(A) (B) (C) (D) 解析:设双曲线的焦点在x轴上,则双曲线的一条渐近线的斜率k=,由题意知满足k,所以3, 1+4,即2,又双曲线的离心率为e=,所以0,b0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()(A) (B)2 (C) (D)3解析:由=,令b=,则c=2,a=1,e=2.故选B.答案:B6.(2013年陕西卷,文11)双曲线-=1的离心率为 .解析:由a2=16,b2=9,得c2=a2+b2=25.离心率e=.答案:7.(2013年湖南卷,文14)设F1,F2是双曲线C, -=1(a0,
10、b0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1PF2,且PF1F2=30,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在RtF1PF2中,|F1F2|=2c,PF1F2=30,得|PF2|=c,|PF1|=c,根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a,( -1)c=2a,e=+1.答案: +18.(2012年重庆卷,文14)设P为直线y=x与双曲线-=1(a0,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:由消去y,得x=a.又PF1x轴,a=c,e=.答案:9.(2009年湖南卷,文13)过双曲线C: -=1(a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2
11、=a2的两条切线,切点分别为A、B.若AOB=120(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OAAF,OBBF且AOB=120,AOF=60.又OA=a,OF=c,=cos 60=,=2.答案:2考点四 与渐近线有关问题的解法1.(2013年新课标全国卷,文4)已知双曲线C: -=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()(A)y=x(B)y=x(C)y=x(D)y=x解析:离心率e=,所以=.又双曲线C: -=1的渐近线方程为y=x=x.故选C.答案:C2.(2013年福建卷,文4)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()(A) (B) (C)1 (D)解
12、析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0,双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(1,0),顶点到渐近线的距离为.故选B.答案:B3.(2011年湖南卷,文6)设双曲线-=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由渐近线方程3x2y=0,得y=x,又由双曲线-=1得渐近线方程y=x,a=2.故选C.答案:C4.(2009年天津卷,文4)设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()(A)y=x(B)y=2x (C)y=x (D)y=x解析:由题意知2b=2,2c=2,b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,渐近
13、线方程为y=x=x=x.故选C.答案:C5.(2009年全国卷,文8)双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则r=()(A)(B)2 (C)3 (D)6解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=x,则圆心(3,0)到y+x=0的距离为r,r=.故选A.答案:A6.(2013年江苏卷,3)双曲线-=1的两条渐近线的方程为.解析:令-=0,解得y=x.答案:y=x7.(2011年北京卷,文10)已知双曲线x2-=1(b0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=.解析:由x2-=1知a=1,又一条渐近线的方程为y=x=2x,b=2.答案:28.(2010年北京卷,文13)已知双曲线-
14、=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,c=4.e=2,a=2,b2=12,b=2.焦点在x轴上,焦点坐标为(4,0),渐近线方程为y=x,即y=x,化为一般式为xy=0.答案:(4,0)xy=0考点五 双曲线几何性质的简单应用1.(2013年湖北卷,文2)已知00,b0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程;(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=,.求AOB的面积的取值范围.解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-
15、by=0的距离为,=,即=.由得双曲线C的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=2x,设A(m,2m),B(-n,2n),m0,n0.由=得P点坐标为,将P点坐标代入-x2=1,化简得mn=.设AOB=2,tan(-)2.tan =,sin 2=.又|OA|=m,|OB|=n,SAOB=|OA|OB|sin 2=2mn=+1,记S()= +1,.则S()= .由S()=0得=1.又S(1)=2,S=,S(2)= ,当=1时,AOB的面积取得最小值2,当=时,AOB的面积取得最大值.AOB面积的取值范围是.模拟试题考点一 用双曲线的定义解决相关问题1.(2013浙江杭州
16、一模)设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为()(A) (B)11(C)12(D)16解析:由-=1知a2=4,b2=3,c2=7,c=,F1(-,0),F2(,0),又点A、B在双曲线左支上,|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4,|AF2|=4+|AF1|,|BF2|=4+|BF1|,|AF2|+|BF2|=8+|AF1|+|BF1|.要求|AF2|+|BF2|的最小值,只要求|AF1|+|BF1|的最小值,而|AF1|+|BF1|最小为2=3.(|AF2|+|BF2|)min=8+3=11.故
17、选B.答案:B2.(2013北京市东城区高三12月综合练习)已知F1、F2为双曲线C: -y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则P到x轴的距离为()(A) (B) (C) (D)解析:由双曲线的方程可知a=2,b=1,c=,在F1PF2中,根据余弦定理可得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,即4c2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以4c2=4a2+|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=4c2-4a2=20-16=4,所以F1PF2的面积为S=|PF1|PF2|sin 60=4=,设F1PF2边F1F2上的高为h,
18、则S=2chh=,所以高h=,即点P到x轴的距离为.故选B.答案:B考点二 双曲线标准方程的求法1.(2013福建厦门高三上质检)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程为.解析:由2a=4得a=2,由e=,得c=3,b2=c2-a2=5,又双曲线焦点在x轴上,双曲线标准方程为-=1.答案: -=12.(2013江苏南通高三第一次调研)已知双曲线-=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为.解析:圆x2+y2-10x=0的圆心坐标为(5,0),c=5,又e=,a=,b2=c2-a2=20,双曲线标准方程为-
19、=1.答案: - =1考点三 双曲线离心率的求法1.(2013北京市海淀区北师特学校高三第四次月考)已知双曲线-=1(a0,b0),过其右焦点F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OMON,则双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:由题意知三角形OMN为等腰直角三角形,所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),当x=c时, -=1,得|y|=,所以由|y|=c得b2=ac,即c2-a2=ac,c2-ac-a2=0,所以e2-e-1=0,解得离心率e=.故选D.答案:D2.(2013云南省昆明三中高三适应性月考)已知F是双曲线C: -=1(a0,b0)的左焦
20、点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线与双曲线C的一个交点为A,且=2,则双曲线C离心率是.解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M,设A(x,y),则由=2得=2,解得x=,y=b,即A,因为点A在双曲线上,所以-=1,即-=1,所以=,即=,即e2=,所以e=.答案:考点四 双曲线渐近线方程的求法1.(2013河南郑州一模)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()(A)y=x(B)y=x(C)y=2x (D)y=x解析:由e=得e2=1+=3,=2,=,双曲线渐近线方程为y=x,即y=x.故选A.答案:A2.(2013合肥二模)双曲线的焦点
21、在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为.解析:由题意,2a=4,a=2,由e=3,c=6,b2=c2-a2=32,双曲线标准方程为-=1.渐近线方程为y=2x.答案: -=1y=2x考点五 双曲线几何性质的简单应用1.(2013青岛二模)双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则BDF的余弦值是()(A)(B) (C)(D)解析:设双曲线方程-=1(a0,b0),则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),由e=2得c=2a,b=a,
22、 直线AB方程为y=x+a,直线FC方程为y=-x-a.法一由得D(-a,-a).|DF|=a,|DB|=a,又|BF|=a.在BDF中,由余弦定理得cosBDF=.故选C.法二tanFBD=,tanDFB=,tanBDF=tan180-(FBD+DFB)=-tan(FBD+DFB)=-=3.cosBDF=.故选C.答案:C2.(2013山东烟台一模)若点P是以A(-,0),B(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=10的一个交点,则|PA|+|PB|的值为()(A)2(B)4(C)4(D)6解析:如图,点A、B在圆x2+y2=10上,P为一个交点,PAPB,|PA|2+|PB|2=
23、(2c)2=40,又|PA|-|PB|=2a=2,联立解得|PA|=4,|PB|=2.|PA|+|PB|=6.故选D.答案:D考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用(2013西安市质量检测)已知双曲线-=1(bN*)的左、右两个焦点为F1、F2,P是双曲线上的一点,且满足|PF1|PF2|=|F1F2|2,|PF2|0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A、B两点,求弦长|AB|.解:(1)根据题意a2=4,a=2,又a2+b2=c2,|PF1|-|PF2|=2a=4,|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c2,|PF2|4,得|PF2|2+4|PF2|-
24、4c2=0在区间(0,4)上有解,所以c28,因此b20.因为|F1F2|=3x=2c,所以x=c.若曲线为椭圆,则有2a=|PF1|+|PF2|=6x,即a=3x,所以离心率e=.若曲线为双曲线,则有2a=|PF1|-|PF2|=2x,即a=x,所以离心率e=.故选D.答案:D5.(2012南昌高三模拟)已知ABC外接圆半径R=,且ABC=120,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为()(A) -=1(B) -=1(C) - =1(D) -=1解析:由正弦定理知sin BAC=,cos BAC=,|AC|=2Rsin ABC=2=14,sin
25、 ACB=sin(60-BAC)=sin 60cos BAC-cos 60sin BAC=-=,|AB|=2Rsin ACB=2=6,2a=|AC|-|AB|=14-6=8,a=4,又c=5,b2=c2-a2=25-16=9,所求双曲线方程为-=1.故选D.答案:D6.(2012合肥二模)已知ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=+,且=.(1)求|最小值,并指出此时与,的夹角;(2)是否存在两定点F1,F2使|-|恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.解:(1)由余弦定理知:cosACB=ACB=.因为|2 =(+)2=2+162+2=2+162+13.所以|,当且仅当=1时,“=”成立.故|的最小值是,此时 =或.(2)以C为坐标原点,ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),设动点M(x,y),因为=+,所以再由=知-y2=1,所以,动点M的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使|-|恒为常数2,即k=2.
