1、1.2充分条件与必要条件第二课时充要条件填一填1.充要条件的定义一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件2判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件(一)从逻辑关系上看，(1)若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；(2)若pq，但qp，则p是q的必要不充分条件；(3)若pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件(二)从集合的观点看，设集合Ax|x满足
2、条件p，Bx|x满足条件q(1)若A B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B A，则p是q的必要不充分条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.判一判1.“b0”是“二次函数f(x)ax2bxc是偶函数”的充要条件()解析：当b0时，f(x)ax2c是偶函数；当二次函数f(x)ax2bxc是偶函数时，对称轴x0，得b0.故是充要条件2“x0，y0”是“xy0”的充要条件()解析：x0，y0xy0，但由xy0得x、y同正或者同负，即xy0x0，y0，所以前者是后者的充分不必要条件故错误3“ab”是“q：acbc”的充要条件()解析：由不等式的
3、加法法则知正确4.是的必要不充分条件()解析：由及不等式的性质，可得成立但由如x11，x210满足但不满足故应为充分不必要条件故错误5已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的充分不必要条件()解析：a，若，则 a.又b，所以ab成立而ab，显然不能推出，所以“ab”是“”的必要不充分条件故错误6“a3”是“直线ax3y0平行于直线xy1”的充分而不必要条件()解析：若a3，则ax3y0即为xy0与直线xy1平行，反之若ax3y0与xy1平行，则1，a3，所以“a3”是“直线ax3y0平行于直线xy1”的充要条件，故错误7“ab”是“2a2b”的充要条件()解析：y2x在R上是增函数，
4、ab2a2b.8“ab”是“lg alg b”的充分不必要条件()解析：当ab0时，lg a，lg b无意义，ab lg alg b，故错误.想一想1.符号“”的含义是什么？提示：“”表示“等价”如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”2p的充要条件是q与p是q的充要条件一样么？提示：从充要性来说一样，但“p的充要条件是q”的充分性是qp，而“p是q的充要条件”的充分性是pq.3充分条件、必要条件的判断方法有哪些？提示：(1)定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真
5、假的判定方法(2)等价转化法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系(3)集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解题(4)特殊值法：对于选择题，可以取特殊值来验证充分性或必要性不成立，但这种方法不适用于证明题思考感悟：练一练1an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解
6、析：a2n1a2n0a1(q2n2q2n1)0q2(n1)(q1)0q(，1)，故“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2nlg y”是“10x10y1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：lg xlg yxy010x10y1，充分性成立；10x10y1xy0lg xlg y，必要性成立，则“lg xlg y”是“10x10y1”的充要条件故选C.答案：C3四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是_(1)ab1(2)ab1(3)a2b2(4)a3b3解析：(1)ab1能够推出ab，ab不能推出ab1，是；(2)ab1不能够推出ab，不是；(3)a2
7、b2不能够推出ab，不是；(4)a3b3能够推出ab，ab也能推出a3b3，不是答案：(1)4下列三个结论中，正确的是_(写出所有正确结论的序号)若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；“”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集为R”的充要条件；“x1”是“x21”的充分不必要条件解析：知正确对于，若x1，则x21，充分性不成立，故错误故填.答案：知识点一充要条件的判断1.已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：因为A1，a，B1,2,3，若a3，则A1,3，所以AB，所以a3
8、AB；若AB，则a2或a3，所以AB a3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件答案：A2“cos ”是“2k，kZ”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当2k，kZ时，cos ；反过来，若cos ，则2k或2k，kZ.所以“cos ”是“2k，kZ”的必要不充分条件答案：A3设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：由题可知，若a1a20时，解得q1，此时数列an是递增数列，当a10时，解得0q1，此时数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列
9、，则a1a2a3成立，所以“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的充要条件答案：C知识点二充要条件的探求与证明4.“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由两直线平行，可得解得a1；当a1时，两直线的方程分别为x3y30和x3y10，可知两直线平行故“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的充要条件答案：C5函数f(x)(a1)tan2x3sin xa23a4为奇函数的充要条件是()Aa4 Ba1Ca4或a1 DaR解析：函数f(x)的定义域为A，该定义域关于原点对称f(x)为奇函数且
10、0A，f(0)0，即a23a40，a4或a1，当a1时，易证f(x)3sin x(xA)是奇函数；当a4时，f(x)5tan2x3sin x(xA)，这时f5，f5，ff，ff.f(x)5tan2x3sin x(xA)既不是奇函数也不是偶函数，不合题意，a4舍去故选B.答案：B6“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_解析：函数yx22xa没有零点(2)241(a)0a1.答案：a17已知集合A，Bx|1xm1，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：易知集合Ax|1x3，m2.答案：(2，)8已知x，y都是非零实数，且xy，求证：0.证明：(1)必要性：由，得0
11、，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0，及xy，得，即.综上所述，0.基础达标一、选择题1. 设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：“若p则q”真而逆命题假，即pq，qp，所以p是q的充分不必要条件，故选A.答案：A2设xR，则x2的一个必要不充分条件是()Ax1 Bx3 Dx2可推出选项，而由选项推不出x2.故选A.答案：A3如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：DCBA，但AD，是D的
12、必要不充分条件故选A.答案：A4设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“xMP”的()A充分条件但非必要条件B必要条件但非充分条件C充分必要条件D非充分条件，也非必要条件解析：由已知MPx|2x3，所以xMPxM或xP，反之不成立，故选B.答案：B5不等式2x25x30的一个必要不充分条件是()Ax3 Bx0C3x D1x0和a2x2b2xc20的解集分别为M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：通过特例说明例如a1，b1，c1，a2，b2，c2分别为1，2，3，1,2,3满足，但是MN，当a1，b1，c1，a2，b
13、2，c2，分别为1，1,1,1,1,1时MNR但是不成立故选D.答案：D7已知条件M：“ABCABC”；条件N：“ABAB，ACAC，BCBC”，则M是N的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：两三角形对应边分别平行，这两个三角形相似，但两个三角形相似，对应边不一定平行，故选B.答案：B二、填空题8“x0”是“x2x”的_条件解析：因为x2x即0x1，所以x00x1，但0x1x0，所以“x0”是“x2x”的必要不充分条件答案：必要不充分9设A，B是非空集合，则“ABA”是“AB”的_条件解析：因为ABAABAB，反之，ABABA，故“ABA”是“AB
14、”的必要不充分条件答案：必要不充分10“xAB”是“xA”的_条件；“xAB”是“xB”的_条件答案：充分不必要必要不充分11“ax2bxc0(a0)有实根”是“ac0”的_条件解析：因为ax2bxc0(a0)有实根，所以b24ac0，ac0不一定成立；但ac0时，b24ac0一定成立，所以“ax2bxc0(a0)有实根”是“ac0”的必要不充分条件答案：必要不充分12已知a，bR，则“ab0”是“a2b20”的_条件解析：当a1，b0时，ab0，此时a2b20，可知充分性不成立；当a2b20时，由a20，b20可知ab0，则ab0，可知必要性成立；则“ab0”是“a2b20”的必要不充分条件
15、答案：必要不充分三、解答题13已知ab0，求证：“ab1”的充要条件是“a3b3aba2b20”解析：先证必要性：ab1，b1a.a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20，必要性成立再证充分性：a3b3aba2b20，即(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，(ab1)(a2abb2)0.又ab0，a0且b0，从而a2abb20，ab10，即ab1.充分性成立故原命题成立14求方程ax22x10至少有一个负根的充要条件解析：方程ax22x10至少有一个负根等价于a0或或，解得a1.能力提升15.关于x的方程ax2bxc0有一个根为
16、1的充要条件是什么？并证明你的结论解析：因为方程ax2bxc0有一个根为1，所以abc0，即关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0，证明如下：充分性：因为abc0，所以a12b1c0，所以方程ax2bxc0有一个根为1.必要性：因为方程ax2bxc0有一个根为1，所以a12b1c0，所以abc0.16已知a，b，c是ABC的三条边，证明：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc.解析：(1)充分性(a2b2c2abacbcABC为等边三角形)：a2b2c2abacbc，2a22b22c22ab2ac2bc，(ab)2(ac)2(bc)20，ab，ac，bc，abc，ABC为等边三角形(2)必要性(ABC为等边三角形a2b2c2abacbc)：abc，a2b2c23a2，abacbc3a2，a2b2c2abacbc.综上，所证结论成立
