1、专题 1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题 1设函数2()(1|)f xlnxx=+，则使得()(21)f xfx成立的 x 的取值范围是()A 1(,1)3 B1(,)(1,)3+C1 1(,)3 3 D11(,)(,)33+【解析】解：函数2()(1|)f xlnxx=+，那么22()(1|)()(1|)()fxlnxxlnxxf x=+=+=可知()f x 是偶函数，当0 x，()f x 是递增函数，()(21)f xfx成立，等价于|21|xx，解得：113x成立的 x 的取值范围是()A 1(3，1)B(，1)(13，)+C1(3，1)3 D(，11)(33，)+【解析】解：()f
2、 x 是 R 上的偶函数，0 x 时，21()2019f xxx=+，()f x在0，)+上是增函数，由()(21)f xfx得，(|)(|21|)fxfx，|21|xx，22441xxx+，解得 113x的解集为()A1(4，)+B1(,)4 C(0,)+D(,0)【解析】解：设22020()()22020log(1)2020 xxg xf xxx=+，22020()2020log(1)2020()xxgxxxg x=+=，即()g x 为奇函数且单调递增，由(31)()4fxf x+可得(31)()0gxg x+即(31)()()gxg xgx+=，所以31xx+，解得，14x 故选：A
3、7已知函数2()(1)2xxf xeelnxx=+，则关于 x 的不等式(31)()4fxf x+的解集为()A1(,)4+B1(,)4 C(,0)D(0,)+【解析】解：根据题意，函数2()(1)2xxf xeelnxx=+，其定义域为 R；设2()()2(1)xxg xf xeelnxx=+，有22()(1)(1)()xxxxgxeelnxxeelnxxg x=+=+=，即函数()g x 为奇函数，又由函数xxyee=和2(1)ylnxx=+都是 R 上的增函数，故()g x 为 R 上的增函数；(31)()4(31)22()(31)2()2(31)()(31)()fxf xfxf xfx
4、f xgxg xgxgx+，则有31xx+，解可得14x ；即 x 的取值范围为1(4，)+；故选：A 8已知函数22018()20182018log(1)2xxf xxx=+，则关于 x 的不等式(31)()4fxf x+的解集为()A1(,)4+B1(,)4 C(,0)D(0,)+【解析】解：22018()20182018log(1)2xxf xxx=+，令()()2g xf x=，22018()20182018log(1)()xxgxxxg x=+=，(31)()4fxf x+，(31)2()24gxg x+，(31)()0gxg x+，(31)()()gxg xgx+=，22018()
5、20182018log(1)xxg xxx=+单调递增，31xx+，解可得，14x 故选：A 9偶函数()yf x=满足下列条件0 x 时，3()f xx=；对任意xt，1t+，不等式()8()f xtf x+恒成立，则实数t 的取值范围是()A(，34 B3,04 C 2，34 D4,13【解析】解：根据条件得：(|)8(|)fxtfx+；33(|)8(|)xtx+；33(|)(2|)xtx+；|2|xtx+；22()4xtx+；整理得，22320 xtxt在t，1t+上恒成立；设22()32g xxtxt=，()0g t=；22(1)3(1)2(1)0g ttt tt+=+；解得34t；实
6、数t 的取值范围为(，34 故选：A 10已知函数2()2020(1)20201xxf xlnxx=+，则关于 x 的不等式(21)(2)2fxfx+的解集为()A1(,)4 B1(,)2 C 1(,)4+D 1(,)2+【解析】解：22()()2020(1)202012020(1)20201xxxxf xfxlnxxlnxx+=+22(1)(1)2lnxxlnxx=+22(1)(1)2lnxxxx=+22(1)2ln xx=+122ln=+=，则()()2fxf x+=，则不等式(21)(2)2fxfx+，等价于(21)(2)(2)(2)fxfxfxfx+，即(21)(2)fxfx，()f
7、x在 R 上是增函数，212xx 得 41x ，得14x，即不等式的解集为1(,)4 故选：A 11设函数2111()()21|xf xx+=+，则使得(21)(12)2()fxfxf x+成立的 x 的取值范围是()A 1(,1)3 B1(,)(1,)3+C1 1(,)3 3 D11(,)(,)33+【解析】解：函数2111()()21|xf xx+=+，由解析式可知，()f x 为偶函数且在0，)+上单调递减，则(21)(12)2(21)fxfxfx+=，(21)(12)2()fxfxf x+2(21)2()fxf x(21)()fxf x(|21|)(|)fxfx，故选：B 12已知定义
8、域为 R 的函数()f x 在 2，)+上单调递增，若(2)f x+是奇函数，则满足(3)f xf+(21)0 x 的 x 范围为()A2(,)3 B2(3，)+C2(,)3 D 2(3，)+【解析】解：(2)f x+是奇函数；()f x关于点(2,0)对称；又()f x 在2，)+上单调递增；()f x在 R 上单调递增；由(3)(21)0f xfx+得，(3)(21)f xfx+；(3)(23)2)f xfx+；(3)(25)f xfx+；325xx+；解得23x；x的范围为2(,)3 故选：C 13设()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，2()f xx=若对任意的xa，2
9、a+，不等式()(2)f xafx+恒成立，则实数 a 的取值范围是()A0a B2a C2a D0a 【解析】解：（排除法）当0a=时，则0 x，2，由()(2)f xafx+得()(2)f xfx，即22220 xxx厔在0 x，2时恒成立，显然不成立，排除 A、C、D，故选：B 14已知 a 是方程4xlgx+=的根，b 是方程104xx+=的根，函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，2()(4)f xxabx=+，若对任意xt，2t+，不等式()2()f xtf x+恒成立，则实数t 的取值范围是()A 2，)+B2，)+C(0，2 D2，1 2，3【解析】解：由程
10、4xlgx+=得4lgxx=，由104xx+=得104xx=，记()f xlgx=，则其反函数1()10 xfx=，它们的图象关于直线 yx=轴对称，根据题意，a，b 为()f x，1()fx的图象与直线4yx=交点 A，B 的横坐标，由于两交 A，B 点关于直线 yx=对称，所以，B 点的横坐标 就是 A 点的纵坐标，即(,)A a b，将(,)A a b 代入直线4yx=得，4ab+=，则当0 x 时，22()(4)f xxabxx=+=，函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，若0 x，则2()()fxxf x=，即2()f xx=，0 x，则22,0(),0 xxf xxx=+的解集
11、为()A(1,0)B(,1)C1(1,3 D1(1,0)(0,3【解析】解：根据题意，函数|1|21()(1)xf xex=，设|21()xg xex=，其定义域为|1x x，又由|21()()xgxeg xx=，即函数()g x 为偶函数，当(0,)x+时，21()xg xex=，有32()xg xex=+，为增函数，()g x 的图象向右平移 1 个单位得到()f x 的图象，所以函数()f x 关于1x=对称，在(,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增 由()(21)f xfx+，可得1211|1|(21)1|xxxx+，解可得：113x，有1212()()0f xf xxx，则不等式
12、 2(1)2f x剟的解集为()A0，2 B0，1 C 1，1 D 1，0【解析】解：对任意12xx，有1212()()0f xf xxx，()f x在 R 上单调递增，又()f x 是 R 上的奇函数，f（1）2=，所以(1)2f=，则由不等式 2(1)2f x剟可得(1)(1)ff xf剟（1），所以 11 1x剟，解可得，02x剟 故选：A 19已知()f x 是定义在(2,1)b b+上的偶函数，且在(2b，0 上为增函数，则(1)(2)f xfx 的解集为()A2 1,3 B1(1,3 C1 1,3 D 1,13【解析】解：根据题意，由于函数()yf x=是定义在(2,1)b b+上
13、的偶函数，则定义域关于原点对称，则有(2)10bb+=，解可得1b=，所以，函数()yf x=的定义域为(2,2)，由于函数()yf x=在区间(2，0上单调递增，则该函数在区间0，2)上单调递减，由于函数()yf x=为偶函数，则()(|)f xfx=，由(1)(2)f xfx，可得(|1|)(|2|)fxfx，则|1|2|212222xxxx ，解可得：113x，()0n x，1()()1xyx lgm x n xx=+在(0,1)上递减，()g x在(0,1)上递减，()f x的定义域为(3,1)，关于2x=对称，并且在(2,1)上递减，不等式3(21)()2fxf等价于32113|21
14、2|22xx +，解得314x 或104x 故选：D 21已知函数23211()1xxxxex exexf xlnex+=+，其中 e 是自然对数的底数若2(1)(2)0f afa+，则实数 a 的取值范围是 1(0,2 【解析】解：由已知得：23211()1xxxxex exexf xlnex+=+的定义域为(1,1)，2332112()()xxxxxxxxex exex exeefxf xee=，311()21xxxf xexxlnex=+，故函数是奇函数，且增函数，2(1)(2)0f afa+，2221211(2)(1)1110212afafaaaaa ，则实数 a 的取值范围为 13(
15、,)(,)24+【解析】解：函数|2()(xf xex e=+为自然对数的底数），()()(|)fxf xfx=，且在(0,)+单调递增，(32)(1)faf a，|32|1|aa，即281030aa+，实数 a 的取值范围为12a，故答案为：(，13)(24，)+23()f x 是定义在 R 上函数，满足()()f xfx=且0 x 时，3()f xx=，若对任意的21xt+，23t+，不等式(2)8()fxtf x 恒成立，则实数t 的取值范围是 4 7，0 【解析】解：由 xR，()()f xfx=，可得()f x 为 R 上偶函数，3()f xx=在0 x 上为单调增函数，则(2)8(
16、)(2)fxtf xfx=，即为|2|2|xtx，即22(2)(2)xtx，化简可得240txt，（1）当0t 时，的解为：4tx，对任意21xt+，23t+，式恒成立，则需234tt+，解得t ；（2）当0t 时，的解为4tx，对任意21xt+，23t+，式恒成立，则需214tt+，解得407t；（3）当0t=时，式恒成立；综上所述，407t剟 故答案为：4 7，0 24已知()|f xx x=，若对任意2xa，2a+，()2()f xaf x+恒成立，则实数 a 的取值范围是 2a 【解析】解：22,0()|,0 xxf xx xxx=，可得()f x 在0，)+递增，在(，0递增，且(0
17、)0f=，则()f x 在 R 上递增，由()2()f xaf x+可得()(2)()(2)f xaff xfx+=，则2xax+在2xa，2a+恒成立，即有(21)ax在2xa，2a+的最小值，可得(21)(2)aa，解得2a ，故答案为：2a 25设()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，2()f xx=，则 2()(2)f xfx=0；若对任意的xa，1a+，不等式()2()f xaf x+恒成立，则实数 a 的取值范围是 【解析】解：()f x是奇函数，0 x 时，2()f xx=，当0 x 时，2()f xx=当0 x 时，222()(2)220f xfxxx=，当0
18、x 时，222()(2)2(2)0f xfxxx=2()(2)0f xfx=2()(2)f xfx=，()2()f xaf x+恒成立()(2)f xafx+恒成立()f x是增函数，2xax+在a，1a+上恒成立(21)ax，xa，1a+令()(21)g xx=，则()g x 在a，1a+上是增函数()(1)221maxgxg aaa=+=+221aaa+，解得22a 故答案为：0，2 2，)+26已知函数|221()()xf xxe=+则，则不等式(1)(21)f xfx的解集是 2(0,)3 【解析】解：根据题意，函数|221()()xf xxe=+，其定义域为 R，且|221()()()xfxxef x=+=，则()f x 为偶函数，在0，)+上，|222211()()1()xxf xxeex=+=+，在0，)+上为减函数，不等式(1)(21)(|1|)(|21|)|1|21|f xfxfxfxxx，解可得203x，即不等式的解集为2(0,)3，故答案为：2(0,)3
