1、1 椭 圆11 椭圆及其标准方程01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、椭圆的定义我们把平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点 F1，F2 叫作椭圆的_，两焦点 F1，F2 间的距离叫作椭圆的_焦点焦距二、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程 焦点坐标a、b、c 的关系a2b2c2(c,0)(0，c)x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)疑难提示求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前
2、提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定 a2、b2 的具体数值，常用待定系数法(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为x2my2n1(m0，n0且 mn)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为 Ax2By21(A0，B0 且 AB)，这种形式在解题中较为方便练一练1已知在平面直角坐标系中，点 A(3,0)，B(3,0)，点 P 为一动点，且|PA|PB|2a(a0)，给出下列说法：当 a2 时，点 P 的轨迹不存在；当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 3；当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 6；当 a3 时，点 P 的轨
3、迹是以 AB 为直径的圆其中正确的说法是_(填序号)解析：当 a2 时，2a4|AB|，故点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，错误；正确；当 a3 时，点 P 的轨迹为线段 AB，错误答案：2若方程 x2k5y210k1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是_解析：由 10kk50，得 5k|F1F2|2.点 M 的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为 F1(0,1)和 F2(0，1)2c2，c1,2a4，a2.点 M 的轨迹方程为y24x23 1.到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆特别注意焦点的位置及 a，b，c 的关系1.已知椭圆 C 上任意一点 P(x
4、，y)都满足关系式 x12y2 x12y24，则椭圆 C 的标准方程为()A.x23 y241 B.x24 y231C.x216y2151D.x24 y21解析：由题设可知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且 2a4，c1，故 a2，b23，所以椭圆 C 的标准方程为x24 y231.答案：B2求焦点在坐标轴上，且过点 A(2,0)和 B1，32 的椭圆的标准方程解析：解法一 若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意，有 4a21，1a2 34b21.解得 a24，b21.若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，同理a21，b24，这与 ab 矛盾
5、故所求椭圆方程为x24 y21.解法二 设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)将 A，B 坐标代入得4m1，m34m1，解得m14，n1，故所求椭圆方程为x24 y21.探究二 椭圆定义的应用典例 2 如图所示，已知椭圆的方程为x24 y231，若点 P 在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2 的面积解析 由已知 a2，b 3，所以 c a2b2 431，|F1F2|2c2，在PF1F2 中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|P
6、F1|.代入解得|PF1|65，SPF1F212|PF1|F1F2|sin 12012652 32 335，即PF1F2 的面积是35 3.椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2构成的F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识在求焦点三角形的面积时，若已知F1PF2，可利用 S12absin C，把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量3点 P 在椭圆 x24 y21 上，且 PF1
7、PF2，求 SPF1F2.解析：点 P 在椭圆上，|PF1|PF2|4，即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16，又 PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|212，|PF1|PF2|2，SPF1F212|PF1|PF2|1.4如图所示，已知经过椭圆x225y2161 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于 x 轴，交椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点(1)求AF1B 的周长(2)如果直线 AB 不垂直于 x 轴，AF1B 的周长有变化吗？为什么？解析：(1)由题意知，A，B 在椭圆x225y2161 上，故有|AF2|AF1|2a10，|BF1|BF2|2a10，|
8、AF2|BF2|AB，AF1B 的周长|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a4a4520.AF1B 的周长为 20.(2)如果直线 AB 不垂直于 x 轴，AF1B 的周长仍为 20 不变，因为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a 与直线 AB 是否与x 轴垂直无关，所以AF1B 的周长没有变化探究三 椭圆的标准方程及其应用椭程圆及的其标应准用方 已知两个焦点坐标，求椭圆标准方程 已知椭圆经过两点，求椭圆标准方程 求与已知椭圆共焦点的椭圆方程 参数a，b，c
9、的范围问题5写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a5，c2；(2)经过 P1(6，1)，P2(3，2)两点；(3)以椭圆 9x25y245 的焦点为焦点，且经过点 M(2，6)解析：(1)由 b2a2c2，得 b225421.椭圆的标准方程为x225y2211 或y225x2211.(2)解法一 当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由已知，得 6a2 1b213a2 2b21a29b23，即所求椭圆的标准方程是x29 y231.当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为x2b2y2a21(ab0)，由已知，得 6b2 1a213b2 2a21b29a23，与 a
10、b0 矛盾，此种情况不存在综上，所求椭圆的标准方程是x29 y231.解法二 由已知，设椭圆的方程是 Ax2By21(A0，B0，AB)，故6AB13A2B1 A19B13，即所求椭圆的标准方程是x29 y231.(3)解法一 方程 9x25y245 可化为x25 y291，则焦点是 F1(0,2)，F2(0，2)设所求椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)，点 M 在椭圆上，2a|MF1|MF2|202 622202 622(2 3 2)(2 3 2)4 3，a2 3，即 a212，b2a2c21248，所求椭圆的标准方程为y212x28 1.解法二 由题意，知焦点 F1(0,2)，F
11、2(0，2)，设所求椭圆的方程为 y24x2 1(0)，将 x2，y 6代入，得 6441，解得 8 或 2(舍去)，所求椭圆的标准方程为y212x28 1.6如图，已知定点 A(2,0)，动点 B 是圆 F：(x2)2y264 上一点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，求动点 P 的轨迹方程解析：连接 PA(图略)，圆 F：(x2)2y264 的圆心为 F(2,0)，半径 R8.线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|BF|R8|AF|4.由椭圆的定义，知点 P 的轨迹是椭圆依题意，有 2a8，c2，b212，动点 P 的轨迹方程为x2
12、16y2121.7求以椭圆 9x25y245 的焦点为焦点，且经过点 M(2，6)的椭圆标准方程解析：由 9x25y245，得y29x25 1，其焦点为 F1(0,2)，F2(0，2)设所求椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，点 M(2，6)在椭圆上，6a2 4b21.又 a2b24，由得 a2b24，代入得 b46b2160，可解得 b28 或 b22(舍去)，所以 a212.故所求椭圆方程为y212x28 1.求解椭圆问题的四种常见错误典例(1)设 F1(4,0)，F2(4,0)为定点，动点 M 满足|MF1|MF2|8，则动点 M的轨迹是()A椭圆 B直线C圆D线段(2)若方程 x2
13、7k y2k51 表示椭圆，则实数 k 的取值范围是_(3)已知椭圆的标准方程为x225 y2m21(m0)，并且焦距为 6，则实数 m 为_解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线段 F1F2.(2)由题意可知7k0，k50，7kk5，所以 k(5,6)(6,7)(3)因为 2c6，所以 c3.当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准方程知 a225，b2m2，由 a2b2c2，得 25m29，所以 m216，又 m0，故 m4.当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2m2，b225，a2b2c2，得 m225934，又 m0，故 m 34.综上，实数 m 的值为 4 或 34.答案(1)D(2)(5,6)(6,7)(3)4 或 34错因与防范 在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误：(1)忽略椭圆定义中的条件 2a|F1F2|；(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a0，b0，ab)；(3)主观认为焦点在 x 轴上而忽略讨论焦点在 y 轴上的情况；(4)忽略对方程加限制条件03课时 跟踪训练
