1、第六节正弦定理和余弦定理课标要求考情分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.本节是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等2命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合.知识点一正弦定理和余弦定理知识点二在ABC中，已知a、b和A时，解的情况知识点三三角形常用面积公式1Saha(ha表示边a上的高)2SabsinCacsinBbcsinA.注意以下结论：1三角形中的必备结论(1)abAB(大边对大角)(2)ABC(三角形内角和定理)(3)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，sinc
2、os，cossin.(4)射影定理：bcosCccosBa，bcosAacosBc，acosCccosAb.2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()2小题热身(1)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b,2asinBb，则角A等于(C)A. B.C. D.(2)已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为(B)A75 B
3、60C45 D30(3)在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是(C)A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定(4)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于2.(5)在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是.解析：(1)由2asinBb可得：2sinAsinBsinB，故sinA，A.(2)由三角形的面积公式，得BCCAsinC3，即43sinC3，解得sinC，又因为三角形为锐角三角形，所以C60.(3)由三角形正弦定理，即，解得sinB，B无解，所以三角形无解故本题正确答案为C.(4)设ABC中，角A，B，C对
4、应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cosA，解得c2.所以SbcsinA42sin602.(5)由已知不等式结合正弦定理得a2b2c2bc，所以b2c2a2bc，所以cosA.因为ycosx在上为减函数故A的取值范围是.第1课时正弦定理、余弦定理考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.(1)求A；(2)若ab2c，求sinC.【解】(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cosA.因为0A180，所以A60
5、.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sinAsin(120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，可得cos(C60).由于0Cb，所以B为锐角，所以cosB.故选D.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab，AB，则角C(B)A. B. C. D.解析：因为ABC中，AB，所以AB，所以sinAsincosB，因为ab，所以由正弦定理得sinAsinB，所以cosBsinB，所以tanB，因为B(0，)，所以B，所以C，故选B.考点二判断三角形形状【例2】(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形B直角三
6、角形C锐角三角形 D等边三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】(1)由cosA，得0，所以sinCsinBcosA，即sin(AB)sinBcosA，所以sinAcosB0，所以cosB0，sinA1，即A，ABC为直角三角形【答案】(1)A(2)B方法技巧(1)判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有
7、漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2ccosA，c2bcosA，则ABC的形状为(C)A直角三角形 B锐角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：由正弦定理，得sinB2sinCcosA，sinC2sinBcosA，即sin(AC)2sinCcosAsinAcosCcosAsinC，即sinAcosCcosAsinC0，所以sin(AC)0，AC，同理可得AB，所以三角形为等边三角形故选C.2在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为(B)A等边三角形B直角三角形C
8、等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：因为cos2，所以2cos211，所以cosB，所以，所以c2a2b2.所以ABC为直角三角形故选B.考点三与三角形面积有关的问题命题方向1三角形面积的求解【例3】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，B2A，b.(1)求a；(2)已知M在边BC上，且，求CMA的面积【解】(1)由0A，cosA，知sinA，sinBsin2A2sinAcosA2，由正弦定理可知，a.(2)cosBcos2A2cos2A1221，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，ABC的面积SABCabsinC，又，SCMASABC.命题方
9、向2三角形面积的最值或范围问题【例4】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsinA.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围【解】(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.方法技巧(1)
10、与三角形面积有关问题的解题策略：利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.(2)三角形面积的最值或范围问题一般有两种思路：转化为边的关系，借助均值定理；转化为角的关系，利用角的范围，借助三角函数的单调性.1(方向1)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为6.解析：解法1：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accosB，得62(2c)2c222cccos，得c2，所以a4，所以ABC的面积SacsinB42sin6.解法2
11、：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accosB，得62(2c)2c222cccos，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.2(方向1)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，(3ba)cosCccosA，c是a，b的等比中项，且ABC的面积为3，则ab.解析：由(3ba)cosCccosA，得3sinBcosCsinAcosCsinCcosA，由3sinBcosCsinAcosCcosAsinCsin(AC)sinB，又sinB0，所以cosC，得sinC.由SABCabsinC3，得ab3，得ab9.又c是a，b的等比中项，所以c2
12、ab.由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b215，则(ab)2a2b22ab151833，即ab.3(方向2)ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知abcosCcsinB，且b，则ABC面积的最大值是.解析：由abcosCcsinB及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB，即sin(BC)sinBcosCsinBsinC，又sin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以sinBsinCcosBsinC，因为sinC0，所以sinBcosB，所以tanB1，所以B45.在ABC中，由余弦定理可得a2c22ac2，即a2c2ac2，因为a2c22ac，所以ac2，当且仅当ac时取等号，所以ABC的面积SacsinBac，故ABC的面积的最大值为.
