1、2013届 广东省六校第二次联考 理科数学试题命题：中山纪念中学 六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中一选择填空（本大题共8小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数 （ ） B. C. D. 2“”是“”成立的 （ ）. 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件3.，点在边上，设，则 （ ） 4 （ ） 5.把函数图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是，则（ ） 6. 在中，则 的值是 （ ） 7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，
2、将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是 （ ） 8. 已知实数满足等式,下列五个关系式： , 其中有可能成立的关系式有 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9已知命题 则命题是_. 10. 已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是_.11. 等比数列中，若，则12. 如图，在边长为2的菱形中，为的中点，则13. 已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数 14对于三次函数的导数，函数的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“
3、拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题： （1）函数的对称中心坐标为 _ ； （2）计算= _ .三解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分12分）已知函数（1）求的最大值和最小正周期；（2）设，求的值16. （本小题满分12分）已知、（1）若，求的值； （2）若， 的三个内角对应的三条边分别为、，且，求。17. （本小题满分14分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列18. （本小题满分14分）已知函数.（1）若，使,求实数的取值范围;（2）设,且在
4、上单调递增,求实数的取值范围.19（本小题满分14分）已知三次函数为奇函数，且在点 的切线方程为.(1) 求函数的表达式.(2) 求曲线在点处的切线方程，并求曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积. (3) 如果过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围；20. （本小题满分14分）设函数.（1）证明：存在唯一实数，使；（2）定义数列 对（1）中的，求证:对任意正整数都有; 当时,若,证明:对任意都有2013届高三六校第二次联考（理科）数学试题参考答案及评分标准命题： 中山纪念中学 纪希刚 审题：梁世峰 第卷选择题（满分30分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1 2 3 4 5
5、. 6 7 8 第卷非选择题（满分100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 10. 11. 12. 13. （答对一个不得分）14. 对称中心3分； 20122分三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分12分）解：（1）1分3分且的最大值为4分最小正周期5分（2）6分 ， 7分又，8分9分10分又11分12分16. （本小题满分12分）解：（1）2分4分（2）5分6分7分8分9分10分由余弦定理可知：11分12分（其它方法酌情给分）17. （本小题满分14分） 解：（1）设数列的公比为（）.由成等差数列，得，即. 3
6、分由得，解得，（舍去），所以.7分（2）证法一：对任意， ，所以，对任意，成等差数列. 14分证法二：对任意， 9分， 12分 ，因此，对任意，成等差数列。 14分18. （本小题满分14分）解（1）解：由,，得,使，3分所以，或； 7分（2）解：由题设得 10分或 13分或 14分19. （本小题满分14分）（1）解：恒成立又在点的切线方程为，即 5分（2）解：设切点为，则切线方程是：， 7分令得 所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是 9分时时时，切线与曲线恰有一个公共点， （此步不扣分）综上：曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积 . 10分（3）解： 令切线过，代入整理得： 关于有三个不同的解； 设即有三个不同的零点； 2分又时递减；在区间上分别递增，故 14分20. （本小题满分14分）(1)解：有令由所以有且只有一个实数，使； 5分(1) （）(数学归纳法)先证： 证明: ; 假设 由递减性得： 即又所以时命题成立 所以对成立. 9分 (2)()解：当时, 为减函数，且 由 14分
