1、2015届山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟数学（理）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设是实数，且，则实数（ ）A B1 C2 D2、若kR，则“k3”是“方程1表示双曲线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知成等差数列，成等比数列，且，则的取值范围是 A BC D或4设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k （ ）A2 B4 C2 D45已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数f（x）的图像最有可能的是（ ）6用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到
2、时，不等式的左边。（ ）A增加了一项 B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项7已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个交点，则的形状是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随的变化而变化8两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A30种B20种C15种D10种9个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）ABCD10若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:P,Q都在函数f（x）的图象上;P,Q关于原点对称,则称点对（P,Q）是函数f（x）的一个“友好点
3、对”（点对（P,Q）与点对（Q,P）为同一个“友好点对”）已知函数f（x）=则f（x）的“友好点对”有（ ）个A0 B1 C2 D4二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上）11设 则等于 _12椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 _ 上。13曲线在点处切线的倾斜角为 _ 14已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的方程为_15观察等式 由以上等式推测到一个一般的结论：对于_三、解答题（16、17、18、19每题13分，20、21每题14分，总共80分）16（本小题
4、满分13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组1200.6第二组195第三组1000.5第四组0.4第五组300.3第六组150.3（1）补全频率分布直方图并求的值；（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率。17（本小题13分）某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合
5、床柜需要增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中是组合床柜的月产量（1）将利润元表示为月产量组的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）18（本小题满分13分）如图，在四面体中，平面BCD，BCCD，CD=2，AD=4。M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC。（1）证明:PQ/平面BCD；（2）若异面直线PQ与CD所成的角为，二面角C-BM-D的大小为，求的值。 19（本小题满分13分）已知ai0（i=1，2，n），考查；归纳出对a1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明20（本小题满分14分）已知
6、椭圆（）的短轴长为2，离心率为过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点21本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 若点在矩阵 对应变换的作用下得到的点为，（）求矩阵的逆矩阵;（）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C的方程。 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系
7、与参数方程（）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B， 求|AB|; （）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：（为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （）已知函数, 若恒成立，求实数的取值范围。（）已知实数满足且的最大值是1，求的值2015届山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟数学（理）试题参考答案1B 2A 3A 4B 5A 6C 7B 8B 9B 10C11 12 13 14
8、 1516（1）第二组的频率为1-（004+004+003+002+002）5=03所以高为第一组人数为，频率为0045=02所以。又题可知，第二组的频率03，第二组人数为，所以。第四组的频率0035=015，所以第四组人数为，所以。6分（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人， 岁中有2人，设岁中的4人为a,b,c,d岁中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有（a,b）, （a,c）, （a,d）, （a,m）, （a,n）, （b,c）, （b,d）, （b,m）, （b,n）, （c,d）, （c,m）, （c
9、,n）, （d,m）, （d,n）, （m,n）,共15种；其中恰有1人年龄在岁的有（a,m）, （a,n）, （b,m）, （b,n）, （c,m）, （c,n）, （d,m）, （d,n），共8种所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为 13分17（1）由题设，总成本为，2分则7分（2）当时，当时，；10分当时，是减函数，则当时，有最大利润元13分18 法一：（1）如图，连AP并延长交BD于E，连CE，过M作MN/BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE。故AP=3PE，从而PQ/CE。因PQ平面BCD，CE平面BCD，故PQ/平面BCD； （2）过C作CFBD于F，作CRBM于R，连
10、FR。因AD平面BCD，故平面ABD平面BCD，故CF平面ABD，因此CFBM，从而BM平面RCF，所以CRF=即为二面角C-BM-D的平面角。因PQ/CE，故DCE=，因此CE即为BCD的角平分线。由（1）易知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，从而BC=1，。由题易知BC平面ACD，故BCCM。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，则C（0,0,0），D（2,0，0），A（2,0,4），M（2,0,2），Q（）。 （1）设，则，因此。显然是平面BCD的一个法向量，且，所以平面BCD；（2）由（1），故由得，因此，从而，。设是平面BMD的法向量，则，取得。设是平面BMC的法向
11、量，则，取得。故19结论：（a1+a2+an）（+）n2（4分）证明：当n=1时，显然成立；（6分）假设当n=k时，不等式成立，即：（a1+a2+ak）（+）k2 （9分）那么，当n=k+1时，（a1+a2+ak+ak+1）（+）=（a1+a2+ak）（+）+ak+1（+）+（a1+a2+ak）+1k2+（+）+（+）+（+）+1k2+2k+1=（k+1）2即n=k+1时，不等式也成立（12分）由知，不等式对任意正整数n成立（13分）20（1）易知，得,故故方程为（3分）（2）证明：设：，与椭圆的方程联立,消去得由0得 设,则=，故所求范围是（8分）（3）由对称性可知N，定点在轴上直线AN：，
12、令得:, 直线过定点（13分）21（1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分解：（）法一： ，即 ，1分所以 得 3分 即M= ，由得 4分法二：同法一可求得M= 因为 =1 , 4分（）（2）解：（）直线和圆的直角坐标方程分别为1分 则圆心为C（1，2），半径R= ，2分 从而C到直线y=x的距离d= 3分由垂径定理得，|AB|=4分（）解：曲线C1可化为：5分曲线C2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆6分（1,3）关于直线的对称点（-1，1）故所求曲线为圆7分（3）解：（）函数的图象恒在函数图象的上方， 即, 1分从而有 ） 2分由绝对值不等式的性质知 2（2=20 因此，实数的取值范围为 3分（）解：由柯西不等式： （5分）因为所以， 因为的最大值是1,所以，当时，取最大值，6分所以 7分
