1、北师大版高中数学选修2-2 2.1函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：理解函数极值的概念；会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会求函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数极值的概念和判定方法。三、教学难点：函数极值的概念和判定方法。四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、内容分析：对极大、极小值概念的理解，可以结合图像进行说明，并且要说明函数的极值是函数在某一点附近的小区间而言的。从图像观察得出，判断极大、极小值的方法。判断极值点的关键是这两侧的导数异号。预习案1、常见函数的导数公式：C)(n
2、x)(sin x；)(cos x)(ln x)(log xa)(xe)(xa；01nnx cos xsin x1x1lnxaxelnxaa2、预习自测求函数的极值。286yxx解：286R282(4)0yxxyxxy 的定义域为令得4x 当x变化时,y的变化情况如下表:y4-0+减极小值-10增x(,4)(4,)yy函数在处取到极小值，函数无极大值4x=-10y极小值探究案:（一）：知识点探究（阅读课本59、60页回答极大值、极小值、极值的概念）1、极大值：一般地，设函数f(x)在点 附近有定义，如果对附近的所有的点都有f(x)f()，就说f()是函数f(x)的一个极大值，记作y的极大值=f(
3、)，是极大值点f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy1x1x1x1x1x1x2、极小值：一般地，设函数f(x)在点附近有定义，如果对附近的所有的点都有f(x)f()，就说f()是函数f(x)的一个极小值，记作y的极小值=f()，是极小值点f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy2x2x2x2x2x2x3、极值：极大值与极小值统称为极值请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最
4、小.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.o a X1 X2 X3 X4 b ax y)(4xf)(1xfo a X00b x y 0)(0 xf0)(xf0)(xfo a X0 b x y 0)(0 xf0)(xf0)(xf4归纳求可导函数f(x)极值的方法：一般地,当函数f(x)在x
5、0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,0)(,0)(xfxf(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(xfxf（2）例题探究例1、的极值？求函数53632)(23xxxxf当x变化时,的变化情况如下表:)(),(xfxf x(-,-2)-2(-2,3)3(3,+)+0-0+极大值 极小值 因此,当x=-2时有极大值,极大值=49;而,当x=3时有极小值,极小值=-49.解：例1：230)()2)(3(63666)(53632)(223xxxfxxxxxfxxxxf或得令)(xf)(xf)(x
6、f)(xf)(xf)(xf总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:(2).求导数).(xf(3).求方程的根.0)(xf(4)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;)(xf(1)求函数的定义域成表格域分成若干个小区间列的根顺次将函数的定义用方程0)x(f训练案2、求下列函数的极值（1）3()3f xxx1、下列命题正确的是（）A、极大值比极小值大B、极小值不一定比极大值小C、极大值比极小值小D、极小值不大于极大值（2）432()8181f xxxxB练 求的极值.x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)-0+0-极小值-2 极大值2 因此,当x=-1时
7、y有极小值,并且,y极小值=-2;而,当x=1时y有极大值,并且,y极大值=2.3()3f xxx3()3f xxx解：的定义域为R2()3 33(1)(1)fxxxx 令()0fx得11xx 或当 x 变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：()fx()f x练2（2）求的极值.（5组A学生展示）x(-,0)0(0,3)3(3,+)-0+0+极小值-1 26 因此,当x=0时有极小值,并且,极小值=-1;而,函数无极大值。432()8181f xxxx解：的定义域为R323()424364(3)fxxxxx x令()0fx得03xx或当 x 变化时，(),()fxf x的变化情况如下表
8、：()fx()f x432()8181f xxxx()f x()f x()f x1.用导数来确定函数的极值步骤：（1）先求函数的导数 f/(x)；（2）再求方程 f/(x)=0 的根；（3）列出导函数值符号变化规律表；（4）利用从+、0、-判断函数极大值；利用从-、0、+判断函数极小值；(-,a)a（a,b）b(b,+)f(x)符号f(x)增函数+-0 0 增函数 减函数 极大值 极小值 四、本课总结:2.函数的极值注意事项：(4)函数的不可导点也可能是极值点;(5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点;(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值,不唯一!(3)极大值不一定比极小值大!(1)导数为零的点不一定是极值点！
