1、20192020学年度第二学期期末教学质量抽测高二数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数在复平面上对应的点为，则（ ）A. 是实数（为虚数单位）B. 是纯虚数（为虚数单位）C. 是实数D. 是纯虚数【答案】D【解析】【分析】直接由已知点得到复数，结合选项即可判断【详解】解：由题意可得，则为纯虚数，是虚数，但不是纯虚数，故选：D【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题2. 甲乙两人投球命中率分别为，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ）A. B. C. D.
2、【答案】C【解析】【分析】恰有一人命中有两种情形：甲中乙不中和甲不中乙中【详解】甲命中的概率为，不命中的概率为；乙命中的概率为，不命中的概率为；设恰好有一人命中概率为，则.故选：C【点睛】此题为基本概念题，考查独立事件发生的概率算法.3. 函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间4. 将5种不同的花卉种
3、植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）A. 420B. 180C. 64D. 25【答案】B【解析】【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论A，D同色和异色，根据乘法原理可得结论【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域有5种涂法，有4种涂法，不同色，有3种，有2种涂法，有种，同色，有1种涂法，有3种涂法，有种，共有180种不同的涂色方案故选：B【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.5. 从1，2
4、，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之积为偶数”，事件为“取到的2个数之和为偶数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出事件发生的概率和事件发生的概率，利用条件概率公式代入计算得出答案【详解】事件为“取到的2个数之积为偶数”， 事件为“取到的2个数之和为偶数”，则故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到关于的不等式组，解出的范围即可【详解】解：的定义域是，令，解
5、得：，令，解得：，故在递减，在递增，若函数在区间上单调递减，则且且，解得：，故选：【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，属于基础题7. 随机变量的取值为0，1，2.若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式即可判断【详解】解：设，则由已知得，解得，所以故选：【点睛】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式，属于基础题8. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵
6、坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设是函数的导函数，若，对，且，总有，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以C正确，D不正确.故选：C【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，
7、根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9. 已知复数（其中为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的运算法则直接求解【详解】解：复数（其中为虚数单位），故错误；，故正确；，故正确；故正确故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题10. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）A
8、. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，再根据，计算期望和方差.【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选：ABC【点睛】本题考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于基础题型.11. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】先求出的值，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求函数的导数，求得展开式的系数和，从而得出结论【详解】解：，故令，可得，故正确对于所给等式，令，可得，令，可得，两式相减除以2，可得，故错误对于所给等式，令，可得，故，故
9、正确对于所给等式，两边分别对求导数，可得，再令，可得，故正确，故选：【点睛】本题主要考查二项式定理，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，还考查了求函数的导数，属于中档题12. 已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】分析】首先利用导数求出分段函数的单调性和最值，从而得到函数的图象，将题意转化为函数与有个交点，根据函数的图象即可得到答案.【详解】当时，令，解得，（舍去）.，为减函数，为增函数.当时，令，解得，为减函数，为增函数.，且当时，.函数的图像如图所示：因为方程有两个不相等的实根，等价
10、于函数与有个交点，所以或.故选：AC【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13. 展开式中的常数项为_.【答案】15【解析】【分析】首先求展开式的通项公式，再令的幂指数等于0求，最后代入求常数项.【详解】，当，即时为展开式中的常数项，代入得.故答案为：15【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，求指定项，重点考查计算能力，属于基础题型.14. 某校高二年级期末测试所有学生的数学成绩，且，若该校高二年级共有学生1000人，则本次测试成绩高于120分的学生人数约为_.【答案】100【解析】【分析】由已知
11、结合正态分布曲线的对称性求得，乘以1000得答案【详解】解：由，得正态分布曲线的对称轴方程为，则则本次测试成绩高于120分的学生人数约为（人故答案为：100【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题15. 数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为_.【答案】【解析】【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解.【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是，所以
12、移动4次后，该质点的坐标为2的概率.故答案为：【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.16. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数_，实数_.【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】根据是的过原点的切线，求出的值，然后再对设切点，求切线方程，利用切线方程为，列方程求出的值【详解】解：对于，设切点为，因为，故切线斜率，故切线方程为，由已知得切线过，所以，故，所以对于，设切点为，所以，因为切线为，得，所以，所以切点为，代入得，所以故答案为：；2【点睛】本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及公切线的性质，同时考查了
13、学生运用方程思想解题的意识，数学运算的能力，属于中档题四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，求实数，的值；（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？【答案】（1）；（2）120.【解析】【分析】（1）根据题意，将代入方程可得，变形可得，由复数相等的定义分析可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：选出的3个数字中含有0，选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案【详解】（1）根据题意，是方程的一
14、个根，则有，变形可得：，则有，解可得；（2）根据题意，分2种情况讨论：选出的3个数字中含有0，此时有种情况，即有48个没有重复数字的三位数；选出的3个数字中不含0，此时有种情况，即有72个没有重复数字的三位数；故可以组成个没有重复数字的三位数【点睛】本题主要考查复数的除法运算、复数相等以及排列组合的应用，属于基础题18. 爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量（单位：）随上市天数的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量与上市天数的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：55155.515.182.54.8494.924.2表中.（1）根据散点图
15、判断与哪一个更适合作为日销量关于上市天数的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）中的判断结果及表中数据，求日销量关于上市天数的回归方程，并预报上市第12天的日销量.附：，.对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）更适合；（2），预报值为.【解析】【分析】（1）根据散点图，结合函数图象，即可容易判断；（2）根据参考数据，先建立关于的线性回归方程，再将其转化为与之间的函数关系即可.【详解】（1）由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程.（2）令，先建立关于的线性回归方程.则，所以.故关于的回归方程为，即日销量关于上市天数的回归方
16、程为.当时，所以，上市第12天的日销量的预报值为.【点睛】本题考查回归方程的求解，散点图，以及利用回归方程进行预测，属于中档题型，本题的关键是利用换元法将函数转化为关于的函数关系.19. 已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为，当时，.由，得.当变化时，的变化情况如下表-0
17、+单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值.（2）对，恒成立，即对，恒成立.令，则.由得，当时，单调递增； 当时，单调递减，所以，因此.所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.20. 2020突如其来的疫情让我们经历了最漫长、最特殊的一个假期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后某校进行了摸底考试，某数学教师为了调查高二学生这次摸底考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了
18、解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的等高条形图：（1）根据等高条形图填写下面列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学不超过1小时25每天在线学习数学超过1小时总计45（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，再随机抽取3人，求抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数的分布列与数学期望.附临界值表0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中.【答案】（1）表格
19、见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】(1)根据等高条形图，得列联表,利用公式计算出的值与表格中数据对比，得出结论；(2) 每天在线学习数学的时长超过1小时的人数的可能取值为0，1，2，3，利用古典概型公式计算出概率,列出分布列求出数学期望【详解】（1）根据等高条形图，得列联表数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学不超过1小时151025每天在线学习数学超过1小时51520总计202545根据列联表中的数据，得到的观测值.所以能在犯错误的概率不超过0.05
20、的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”.（2）由列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过120分的有25人，其中，每天在线学习数学的时长超过1小时的有15人，每天在线学习数学的时长不超过1小时的有10人，从中随机抽取3人，则抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数的可能取值为0，1，2，3.，.所以的分布列为 所以的数学期望.【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机事件的概率的分布列、数学期望的求法，考查超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21. 一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，
21、3个白球的袋中随机摸出2个球，一轮游戏中，若“摸出的两个都是红球”出现3次获得200积分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20积分，若“摸出的两个都是红球”出现0次则扣除10积分（即获得-10积分）.（1）求每次游戏中，“摸出的两个都是红球”的概率；（2）设每轮游戏获得积分为，求的分布列与数学期望；（3）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的积分0相比，积分没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型能求出“摸出的两个都是红球”的概率（2）每轮游戏获得的积分为，则的所
22、有可能取值为，20，200，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望（3）由于每轮游戏获得的积分的数学期望为负值，从而若干轮游戏后，积分没有增加反而减少了【详解】（1）每次游戏中，“摸出的两个都是红球”的概率为：（2）每轮游戏获得的积分为，则的所有可能取值为，20，200，的分布列为： 20 200 （3）由于每轮游戏获得的积分的数学期望为负值，若干轮游戏后，与最初的积分0相比，积分没有增加反而减少了【点睛】本题考查概率、离散型随机事件的概率的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22. 已知函数，.（1）讨论的单调性
23、；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出的导数，讨论当时，时，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（2）由（1）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围【详解】解：（1），当时，由得，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得或，（i）当，即时，和时，单调递增；时，单调递减.（ii）当，即时，所以在单调递增；（iii）当，即时，和时，单调递增；时，单调递减.综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，上单调递增，在上单调递减.（2）当时，所以只有一个零点，不符合题意；当时，由（1）知（i）当时，单调递增，不存在两个零点，不符合题意；（ii）当，在单调递增.又当时，故不存在两个零点，不符合题意；（iii）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，故不存在两个零点，不符合题意；当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增.又，所以在上存在一个零点，取满足，且，则，所以在上也存在一个零点，所以，时，有两个零点.综上可得，的取值范围为.【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题
