1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时函数yAsin(x)的性质及应用Q 在物理中，我们已经学习了简谐运动，了解其运动的规律及图象那么如何用数学知识来研究它的性质呢？X 1函数yAsin(x)，x0，)(其中A0，0)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数yAsin(x)中的常数有关：(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；(2)T：T，它表示做简谐运动的物体_往复运动一次所需要的时间_，称为周期(period)；(3)f：f，它表示做简谐运动的物体在单位时间内_往复运动的次数_，
2、称为频率(frequency)；(4)x：称为相位(phase)；(5)：_x0时的相位_，称为初相(initial phase)知识延伸：当A0或0时，应先用诱导公式将三角函数符号前的数或x的系数化为正数，再确定初相.如函数ysin(2x)的初相不是，A10，0)的有关性质名称性质定义域_R_值域_A，A_周期性T_对称性对称中心(，0)(kZ)对称轴x(kZ)奇偶性当_k_(kZ)时是奇函数当k(kZ)时是偶函数单调性由2kx2k，kZ，解得单调递增区间由2k2x2k，kZ，解得单调递减区间Y 1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)函数ysinx的图象是由函
3、数y2sinx的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的得到的()(2)对函数yAsin(x)的图象进行变换时必须先平移变换再伸缩变换()(3)将函数ysin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数()(4)函数ysin(2x)的图象对称轴为x，kZ.()2函数y3sin的周期、振幅依次是(A)A4，3B4，3C，3D，33简谐运动ysin的频率f_.解析周期T6，则频率f.4函数y6sin的最大值是(A)A6B7C8D18H 命题方向1由图象求解析式典例1如图所示是函数yAsin(x)(A0，0，|0，0，|)图象的一段，试确定此函数解析式解析该函数的周期T4，.又函数的最大值为3，
4、故A3.y3sin(x)法一：所给图象是由函数y3sin向右平移个单位长度得到的，于是所求解析式为y3sin(x)，即y3sin(x)法二：周期为4，由图象知最大值点为(，3)3sin()3.2k，kZ.2k，kZ.|，.所求解析式为y3sin(x)法三：图象过点(0，)，3sin.sin.又，.所求解析式为y3sin(x)法四：由图象过点(，0)，且该点在递增区间上，2k，kZ，2k，kZ.|，.所求解析式为y3sin(x)命题方向2函数yAsin(x)图象的对称性典例2已知函数f(x)sin(x)(0)的最小正周期为，则该函数图象(A)A关于点(，0)对称B关于直线x对称C关于点(，0)对
5、称D关于直线x对称思路分析解析由T，解得2，则f(x)sin(2x)，令2xk，kZ，得x，kZ，即对称轴为x，kZ.令2xk，kZ，得x，kZ，即对称中心为(，0)，kZ.从而可判断A正确规律总结1.函数yAsin(x)的对称轴方程由xk，kZ求得，即x，kZ；对称中心由xk，kZ求得，即得，kZ.2函数yAcos(x)的对称轴方程由xk，kZ求得，即x，kZ，对称中心由xk，kZ求得，即为(，0)，kZ.跟踪练习2下列四个函数中，同时具有：最小正周期是，图象关于x对称的是(D)Aysin()Bysin(2x)Cysin(2x)Dysin(2x)X 函数yAsin(x)性质的综合应用 典例3
6、设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调区间及最值；(3)画出函数yf(x)在区间0，上的图象思路分析本题关键是对图象的对称轴为x这一条件的利用，由图象一对称轴为x得：当x时2xk(kZ)进而可求值解析(1)由2xk，kZ得x，令，解得k，kZ.0，0.当不满足条件时应设法创造出条件.y2sin(2x)2sin(2x)相位和初相分别是2x，错因分析此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A0，0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A0，0”再求正解Cy2sin(2x)2sin(2x)2sin(2x)相位和初相分别是2
7、x，.误区警示要正确理解函数yAsin(x)中A、的意义跟踪练习4已知简谐运动f(x)2sin(x)(|)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为(A)AT6，BT6，CT6，DT6，解析T6，又图象过(0,1)点，sin.0，0)的振幅为，周期为，初相为，则该函数的表达式为(C)Aysin()Bysin()Cysin(3x)Dysin(3x)2函数ycos(2x)1的一个对称中心为(D)A(，0)B(，0)C(，1)D(，1)3(全国卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则(A)Ay2sin(2x)By2sin(2x)Cy2sin(x)Dy2sin(x)解析由图易知A2，因为周期T满足()，所以T，2.由x时，y2可知22k(kZ)，所以2k(kZ)，结合选项可知函数解析式为y2sin(2x)4已知0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则(A)ABCD解析因为直线x和x是函数f(x)的图象中的两条相邻的对称轴，所以，即，解得T2.又T2，所以1.所以f(x)sin(x)因为直线x是函数f(x)的对称轴，所以k(kZ)，所以k(kZ)又00)在区间0,1上恰好有50个最大值，则的取值范围是_，)_.解析T为其最小正周期，则(49)T1(50)T时，有50个最大值点，所以，)- 11 - 版权所有高考资源网
