1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 学 习 目 标 1了解周期函数与最小正周期的意义2理解三角函数的周期性和奇偶性3会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性知识点一|周期函数阅读教材P34P36，完成下列问题知识梳理1周期函数(1)周期函数的概念条件对于函数f(x)，存在一个非零常数T当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1
2、)由于sinsin，则是正弦函数ysin x的一个周期()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期()答案：(1)(2)知识点二|正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性阅读教材P36P37，完成下列问题知识梳理正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycosx周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数小试身手1下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos4x答案：D2函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案：A3下列函数中是偶函数的是()Aysi
3、n 2x Bysin xCysin|x| Dysin x1答案：C题型一三角函数的周期性一题多解【例1】求下列函数的最小正周期(1)f(x)cos；(2)f(x)|sin x|.解(1)解法一(定义法)：f(x)coscoscosf(x)，即f(x)f(x)，函数f(x)cos的最小正周期T.解法二(公式法)：f(x)cos，2.又最小正周期T，函数f(x)cos的最小正周期T.(2)解法一：f(x)|sin x|，f(x)|sin(x)|sin x|sin x|f(x)，故f(x)的最小正周期为.解法二：画出函数y|sin x|的图象，如图所示，由图象可知最小正周期T.方 法 总 结求函数周
4、期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数(2)公式法：对形如yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)，可利用T来求(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.1函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则等于()A5B10C15 D20解析：选B依题意得，10.故选B.2求下列函数的最小正周期(1)y3sin；(2)y|cosx|.解：(1)y3sin，.又T4，函数y3sin的周期T4.(2)f(x)|cosx|，f(x)|cos(x)|
5、cosx|cosx|f(x)，f(x)|cosx|的周期T.题型二三角函数的奇偶性多维探究常见的应用角度有：1奇偶性的判定2由奇偶性确定参数值3奇偶性与周期性的综合角度1奇偶性的判定【例2】(2019南昌二中期末)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xcos(x)；(2)f(x)sin(cosx)；(3)f(x)lg(sin x)解(1)f(x)xcosx，f(x)(x)cos(x)xcosxf(x)，f(x)为奇函数(2)f(x)sincos(x)sin(cosx)f(x)，f(x)为偶函数(3)f(x)f(x)lgsin(x)lg(sin x)lg(sin2x1sin2x)0，即f(x)f
6、(x)，f(x)为奇函数.方 法 总 结判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法，即从f(x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性(3)验证法，即验证f(x)f(x)0或f(x)f(x)0是否成立角度2由奇偶性确定参数值【例3】已知函数f(x)sin是奇函数，则的值可以是()A0BC D解析解法一：f(x)sin为奇函数，则只需k，kZ，从而k，kZ.显然当k0时，满足题意解法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即sin0，所以k(kZ)，即k，令k0，则.答案B方 法 总 结有关三角函数奇
7、偶性问题的解题思路利用奇偶性求参数值注意整体思想的运用，同时也可考虑奇偶函数定义，尤其是利用定义在实数集上的奇函数在f(0)0有意义去求解角度3奇偶性与周期性的综合【例4】已知函数f(x)sin1，则下列命题正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数解析f(x)sin1sin1cosx1T2，而f(x)f(x)，f(x)为偶函数答案B方 法 总 结三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，再利用公式求解(2)判断函
8、数yAsin(x)或yAcos(x)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为yAsin x(A0)或yAcosx(A0)其中的一个.3定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f等于()A BC D解析：选Dffffffsin.故选D.4已知函数f(x)的定义域为R，则()Af(x)是奇函数Bf(x)是偶函数Cf(x)既是奇函数又是偶函数Df(x)既不是奇函数又不是偶函数解析：选B函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(x)f(x)，f(x)为偶函数故选B.1掌握2种求法求三种函数最小正周期的常用方法(1)公式法，
9、将函数化为yAsin(x)B或yAcos(x)B的形式，再利用T可得；(2)图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期2记牢4个常用结论与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)自测检评1ysin为()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D奇函数也是偶函数解析：选B因为sincosx，ycosx为偶函数所以ysin为偶函数故选B.2函数f(x)xsin是() A奇函数B非奇非偶函数C偶函数D既是奇函数又是偶函数解析：选A函数f(x)xsinxcosx，f(x)(x)cos(x)xcosxf(x)，且定义域为R，f(x)是奇函数故选A3函数ycos(ax2)的周期是()A BC D解析：选Cf(x)Acos(x)的周期T，故选C4下列函数中，不是周期函数的是()Ay|cosx| Bycos|x|Cy|sin x| Dysin|x|解析：选D作出各函数图象，观察可得，选D.5设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)则f的值等于()A1 BC0 D解析：选Bfffsin.故选B.