1、第4节空间中的垂直关系一、教材概念结论性质重现1直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab(1)线面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的常用性质：若直线垂直于平面，则该直线垂
2、直于平面内的任意直线；垂直于同一条直线的两个平面平行2平面与平面垂直(1)定义：一般地，如果两个平面与所成角的大小为90，则称这两个平面互相垂直，记作.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可3线面角与二面角(1)直线与平面所成的角(线面角)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角若
3、一条直线垂直于平面，它们所成的角是90.若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0.直线与平面所成的角的取值范围是090.(2)二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角(1)线面角的取值范围是0，90，二面角的取值范围是0，180(2)当线面角为90时，线面垂直；当二面角为90时，面面垂直4常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3
4、)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( )(2)若直线a平面，直线b平面，则直线a与b垂直( )(3)若直线a，b，则ab.( )(4)若，a，则a.( )(5)a，a.( )2设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，下列说法正确的是()A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lmA解析：因为l，l，所以(面面垂直的判定定理)，故A
5、正确3如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_4解析：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，所以BC平面PAC，从而BCPC.因此ABC，PBC也是直角三角形故图中共有4个直角三角形4在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心(1)外(2)垂解析：(1)如图，因为PO平面ABC，连接OA，OB，OC.在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC
6、，故OAOBOC，所以O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC可知PA平面PBC，所以PABC.又POBC，所以BC平面PAO，所以AOBC，同理BOAC，COAB.故O是ABC的垂心5已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对7解析：如图，由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD，平面PBC平面PDC，共7对考点1垂直关系的基本问题基础性1已知平面和直线a，b，若a，则“ba”是“b”的()A充分不必要条件B必要不
7、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B解析：根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a，b，可得ba.反之不成立，可能b与相交或平行所以“ba”是“b”的必要不充分条件2(多选题)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法正确的是()A若a，b，则abB若a，b，ab，则C若a，ab，则bD若a，ab，则b或bABD解析：对于A，若a，则a，又b，所以ab，故A正确；对于B，若a，ab，则b或b，所以存在直线m，使得mb，又b，所以m，所以，故B正确；对于C，若a，ab，则b或b，又，所以b或b，故C错误；对于D，若a，ab，则b或b，故D正确3如图，在三棱锥SABC中，SB
8、ASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是_(填序号)解析：由题意知AC平面SBC，故ACSB，故正确；再根据SBAC，SBAB，可得SB平面ABC，平面SBC平面SAC，故正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，故正确与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无须作图通过空间想象来判断(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确(3)反复验证所有
9、可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明考点2空间角及其应用综合性(1)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中若ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为_30解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1DC1B，O为BD的中点，所以C1OBD.因为ACBD，所以C1OC是二面角C1BDC的平面角在RtC1CO中，C1C，COAC，则C1O2，所以sinC1OC.由图可知，二面角C1BDC为锐二面角，所以C1OC30.(2)(2020全国卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过
10、B1C1和P的平面交AB于点E，交AC于点F.证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNBB1.又AA1BB1，所以MNAA1.在ABC中，M为BC中点，则BCAM.又因为侧面BB1C1C为矩形，所以BCBB1.因为MNBB1，所以MNBC.又MNAMM，MN，AM平面A1AMN，所以BC平面A1AMN.又因为B1C1BC，且B1C1平面ABC，BC平面ABC，所以B1C1平面ABC.又因为B1C1平面EB1C1F，且平面EB1C
11、1F平面ABCEF.所以B1C1EF，所以EFBC.又因为BC平面A1AMN，所以EF平面A1AMN.因为EF平面EB1C1F，所以平面EB1C1F平面A1AMN.解：连接NP，因为AO平面EB1C1F，平面AONP平面EB1C1FNP，所以AONP.根据三棱柱上下底面平行，平面A1NMA平面ABCAM，平面A1NMA平面A1B1C1A1N，所以ONAP，故四边形ONPA是平行四边形设ABC边长是6m(m0)，可得ONAP，NPAOAB6m.因为O为A1B1C1的中心，且A1B1C1边长为6m，所以ON6msin 60m，故ONAPm.因为EFBC，所以，所以，解得EPm.在B1C1截取B1Q
12、EPm，故QN2m.因为B1QEP且B1QEP，所以四边形B1QPE是平行四边形，所以B1EPQ.由知B1C1平面A1AMN，故QPN为B1E与平面A1AMN所成角，在RtQPN中，根据勾股定理可得PQ2m，所以sinQPN.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法，垂面法注意利用等腰三角形和等边三角形的性质1(2020新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷
13、针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为(B) A20B40 C50D902在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角VABC的大小为_60解析：如图，作VO平面ABCD，垂足为O，则VOAB.取AB的中点H，连接VH，OH，则VHAB.因为VHVOV，所以AB平面VHO，所以ABOH，所以VHO为二面角VABC的平面角易求
14、VH2VA2AH24，所以VH2.而OHBC1，所以VHO60.故二面角VABC的大小是60.3如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点(1)证明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值(1)证明：因为AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为PC平面PAC，所以BCPC，所以PBC是直角三角形(2)解：如图，过点A作AHPC于点H，连接BH.因为BC
15、平面PAC，AH平面PAC，所以BCAH.又PCBCC，PC，BC平面PBC，所以AH平面PBC.因为BH平面PBC，所以AHBH，所以ABH是直线AB与平面PBC所成的角因为PA平面ABC，所以PCA即是PC与平面ABC所成的角因为tanPCA，PA2，所以AC.所以在RtPAC中，AH，所以在RtABH中，sinABH，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.考点3线面垂直、面面垂直的判定与性质应用性考向1线面垂直的判定与性质如图，在四棱锥ABCDE中，ADE是边长为2的等边三角形，平面ADE平面BCDE，底面BCDE是等腰梯形，DEBC，DEBC，BEDC2，BD2，M是边DE的中点，点
16、N在BC上，且BN3.(1)证明：BD平面AMN；(2)设BDMNG，求三棱锥ABGN的体积(1)证明：因为ADE是等边三角形，M是DE的中点，所以AMDE.又平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，所以AM平面BCDE.因为BD平面BCDE，所以AMBD.因为MDME1，BN3，DEBC，DEBC，所以MDCN，所以四边形MNCD是平行四边形，所以MNCD.因为BD2，BC4，CD2，所以BD2CD2BC2，所以BDCD，所以BDMN.又AMMNM，所以BD平面AMN.(2)解：由(1)知AM平面BCDE，所以AM为三棱锥ABGN的高因为ADE是边长为2的等边三角形，所以AM.易
17、知GNCD.又由(1)知BDMN，所以BG.所以SBGNBGNG.所以VABGNSBGNAM.解决线面垂直问题的关键点(1)证明直线和平面垂直的常用方法；判定定理；平行直线的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll)(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想考向2面面垂直的判定与性质(2021衡水中学模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABDC，ABC90，PAB120，DCPC2，PAABBC1.(1)证明：平面PAB平面PBC；(2)求四棱锥P
18、ABCD的体积(1)证明：在PAB中，由PAAB1，PAB120，得PB.因为PC2，BC1，PB，所以PB2BC2PC2，即BCPB.因为ABC90，所以BCAB，又PBABB，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.(2)解：在平面PAB内，过点P作PEAB，交BA的延长线于点E，如图所示由(1)知BC平面PAB.因为BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.又平面PAB平面ABCDAB，PEAB，所以PE平面ABCD.因为在RtPEA中，PA1，PAE60，所以PE.因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD(12)1.解决面面垂直问
19、题的关键点(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直1(2021石家庄模拟)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()A平面ABCDB平面PBCC平面PADD平面PABC解析：因为PA平面ABCD，所以PACD.因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD.又PAADA，所以CD平面PAD，所以平面PCD平面PAD.2如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置
20、为点P，且使平面PBD平面BCD.求证：(1)CD平面PBD；(2)平面PBC平面PCD.证明：(1)因为ADAB，BAD90，所以ABDADB45.又因为ADBC，所以DBC45.又DCB45，所以BDC90，即BDCD.因为平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD，所以CD平面PBD.(2)由CD平面PBD，得CDBP.又BPPD，PDCDD，所以BP平面PDC.又BP平面PBC，所以平面PBC平面PDC.3(2020银川一模)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC，且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：平面MOC平面VAB；(2)求三棱锥BVAC的高(1)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.因为平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，所以OC平面VAB.因为OC平面MOC, 所以平面MOC平面VAB.(2)解：在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以等边三角形VAB的面积为SVAB22sin 60.又因为OC平面VAB，所以OCOM.在AMC中，AM1，AC，MC，所以SAMC1，所以SVAC2SMAC.由三棱锥BVAC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，即SVAChSVABOC, 所以h，即三棱锥BVAC的高为.
