1、选修42矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值 与特征向量(对应学生用书(理)189191页)考情分析考点新知掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.求二阶矩阵的特征值和特征向量， 利用特征值和特征向量进行矩阵运算理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设M，N，求MN.解：MN.2. 已知矩阵M，若矩阵M的逆矩阵M 1，求a、b的值解：由题意，知MM1E，即，即解得a5，b3.3. 求矩阵的特征多项式解：f()(1)(2)2234.4. (选修42P73
2、习题第1题改编)求矩阵M的特征值解：矩阵M的特征多项式为f()(2)(3)0，令f()0，得M的特征值为12，23.5. (选修42P73习题第1题改编)求矩阵N的特征值及相应的特征向量解：矩阵N的特征多项式为f()(8)(3)0，令f()0，得N的特征值为13，28，当13时一个解为故特征值13的一个特征向量为；当28时一个解为故特征值28的一个特征向量为.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵(2) 若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.(3) 利用行列式解二元一次方程组2. 特征值与特征向量(1)
3、 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1) 求实数a、b的值；(2) 求A2的逆矩阵解：(1) 设曲线2x22xyy21上任一点P(x，y)在矩阵A对应的变换下的象是P(x，y)，由，得因为P(x，y)在圆x2y21上，所以(ax)2(bxy)21，化简可得(a2b2)x22bxyy21，依题意可得a2b22，2b2a1，b1或a1，b1，而由a0可
4、得ab1.(2) 由(1)A，A2|A2|1，(A2)1.1. 已知矩阵A，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(0，8)(1) 求实数a的值；(2) 求矩阵A的特征值解：(1) 由，得a18，所以a9.(2) 由(1)知A，则矩阵A的特征多项式为f()(1)29228，令f()0，所以矩阵A的特征值为2或4.2. 已知M，N，求二阶方阵X，使MXN.解：(解法1)设X，据题意有，根据矩阵乘法法则有解得所以X.(解法2)因为MXN，所以XM1N，M1.所以XM1N.3. 已知矩阵M，其中aR，若点P(1，2)在矩阵M的变换下得到点P(4，0)，求实数a的值；并求矩阵M的特征值及其对
5、应的特征向量解：由， 22a4a3. M，则矩阵M的特征多项式为f()(2)(1)6234 令f()0，得矩阵M的特征值为1与4. 当1时， xy0， 矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为； 当4时， 2x3y0， 矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.4. 设矩阵M(其中a0，b0)(1) 若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2) 若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a、b的值解：(1) 设矩阵M的逆矩阵M1，则MN1.又M，所以，所以2x11，2y10，3x20，3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2) 设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到P(x，y)，则，即又点P(x，y)在曲线C上，所以y21，则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A、B、C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.(2) 对于二阶可逆矩阵A(adbc0)，它的逆矩阵为A1.2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x、y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)adbc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D0时，方程组的解为备课札记
