1、本章复习提升易混易错练易错点1求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错1.()已知ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()A.x220-y236=1(x0)B.x236+y220=1(x0)C.x220+y236=1(x0)D.x236-y220=1(x0)2.()已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0),则动点P的轨迹方程为.3.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.易错点2对圆锥曲线的定义理解不清而致错4.(2019山东聊城高二月考
2、,)若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()A.双曲线的一支B.圆C.抛物线D.双曲线5.()设P(x,y),若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8,则点P的轨迹方程为()A.x216+y24=1B.x24+y216=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1易错点3忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错6.()抛物线y=4x2的焦点坐标为()A.116,0B.(1,0)C.0,18D.0,1167.()方程x2m2+y22m+3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.-1m3B.-32m3且m0C.-1m3且m0D.m0,
3、b0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆x28+y22=1有公共焦点,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=77xB.y=7xC.y=55xD.y=5x易错点4忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错9.()若椭圆x24+y2m=1(m0)的焦距为2,则m的值是()A.3B.15C.3或5D.1或510.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60,则双曲线的离心率为.易错点5忽视判别式对参数的限制而致错11.()已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=32x.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值
4、范围.12.()已知点F为椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形,直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x4+y2=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于两个不同的点A,B,若PM2=PAPB,求实数的取值范围.易错点6忽视直线的斜率不存在的情况而致错13.()如图,点O是坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点M3,-32,离心率e=12,点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于点Q,点R是PF2的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)记QF1O与PF1
5、R的面积之和为S,试求S的最大值.思想方法练一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用1.()F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.()一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,求此动圆圆心的轨迹方程.二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用3.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交
6、于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.4.()已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(2)当ABC=60时,求菱形ABCD面积的最大值.三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用5.()已知点A(1,0),B(5,1),点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,则PA+PB的最小值为()A.6B.7C.8D.176.()已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且AB=a(a是常数且a1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值.四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用7.()已知抛
7、物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是()A.y2=16xB.x2=-8yC.y2=16x或x2=-8yD.y2=16x或x2=8y 8.(2020辽宁师大附中高二期末,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为,且cos =13,则双曲线的离心率等于.9.()在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的取值范围.答案全解全析易混易错练1.C由题意可知AC
8、+AB=20-8=12BC=8,则点A的轨迹是焦点在y轴且中心为原点的椭圆,且点A不在y轴上,2a=12,c=4,故b2=20,所以点A的轨迹方程为x220+y236=1(x0),故选C.2.答案x2-y2=1(0,x1)解析由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPMkPN=yx+1yx-1=,整理得x2-y2=1(0,x1).所以动点P的轨迹方程为x2-y2=1(0,x1).3.解析由已知,得圆E的半径为2,设圆P的半径为R,则PF=PM=R,ME=2,PE=PM-ME=R-2,所以PF-PE=2,又易知PF-PEEF=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,由题意得a
9、=1,c=2,所以b=3,故所求轨迹方程为x2-y23=1(x-1).易错警示求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件进行补充;“去点”是指求轨迹方程时,有些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.4.A设动圆的圆心为P,半径为r,圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1,O2,则O1(0,0),O2(4,0),半径分别为1和2,由已知得PO1=r+1,PO2=r+2,因此PO2-PO1=1,且143=F1F2,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=43,所以a=4,c=23,所以
10、b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为x24+y216=1,故选B.6.D抛物线方程可化为x2=14y,则2p=14,p=18,故焦点为0,116,故选D.易错警示根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时,应先把抛物线的方程化为标准形式,即等式左端是二次项且系数是1,等式右端是一次项,这样才能准确写出其焦点坐标和准线方程.7.C由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得2m+30,m20,2m+3m2,解得-1m0,n0时才表示椭圆.8.C椭圆的焦点坐标为(6,0),也是双曲线的焦点坐标,故在双曲线中c=6,易知双曲线一条渐近线方程为bx-ay=0,则|6b|a2+b2=6b6=1,b=1
11、,a=5,渐近线方程为y=55x,故选C.9.C由椭圆的焦距为2,知c=1,当焦点在x轴上时,a2=4,b2=m,4-m=1,即m=3;当焦点在y轴上时,a2=m,b2=4,m-4=1,即m=5,m的值为3或5.故选C. 易错警示涉及椭圆的标准方程的问题,如果没有明确指出椭圆焦点的位置,一般都要分两种情况进行讨论,不能想当然地认为焦点在x轴上或在y轴上.10.答案2或233解析解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30,如图2所示,均符合题意,所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,即b
12、a=3或ba=33.又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233(负值舍去).同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有ab=3或ab=33,所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2(负值舍去).综上可得,双曲线的离心率为2或233.解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角为30或60,则离心率e=1cos=233或e=2;当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角为30或60,则离心率e=1sin=2或e=233.综上可得,双曲线的离心率为2或233.11.解析(1)由条件可知2a=4,ba=32
13、,所以a=2,b=3,所以双曲线C的方程为x24-y23=1.(2)联立y=k(x-1),x24-y23=1,消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,因为l与双曲线交于不同的两点,所以3-4k20,=64k4-4(3-4k2)(-4k2-12)0,解得-1k0,则k214,PAPB=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)43+4k2=1+13+4k2=54,=451+13+4k2,又k214,450,则x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,PQ=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2,又点O到直线P
14、Q的距离d=|k|1+k2,S=12PQd=6k2(k2+1)(3+4k2)2,令a=3+4k2,则a(3,+),则S=6(a-3)(a+1)16a2=32-3a2-2a+1,a(3,+),1a0,13,-3a2-2a+1(0,1),S0,32,综上所述,S0,32,则S的最大值为32.思想方法练1.A(由题意直接画出图形,将题目中的关系在图形中体现出来,充分体现了数形结合的思想)延长垂线F1Q,交F2P的延长线于点A,如图所示,则APF1是等腰三角形,PF1=AP,AF2=AP+PF2=PF1+PF2=2a.由题意知O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,则OQ=12AF2=a.Q点
15、的轨迹是以原点O为圆心,a为半径的圆.故选A.2.解析两定圆圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9,(根据题意直接画出图形,借助图形得出相关关系,体现了数形结合思想)如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则MO1=1+R,MO2=9-R,MO1+MO2=10O1O2=6,故点M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b=4,故动圆圆心的轨迹方程为x225+y216=1.3.解析(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).因为直线y=x-3与该椭圆相切,所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,消去y,整理得(a2+b2)x2
16、-23a2x+3a2-a2b2=0,所以=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=MNPQ2=2222=2.若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k0),则直线MN的斜率为-1k,所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+k,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2
17、k2-22k2+1,所以PQ=1+k2|x1-x2|=(1+k2)16k4-4(2k2-2)(2k2+1)2k2+1=22k2+12k2+1,同理可得,MN=22k2+1k2+2.(建立四边形PMQN的面积关于k的函数,再结合不等式求最值,充分体现了函数与方程思想)所以S四边形PMQN=PQMN2=4(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)=4k4+2k2+12k4+5k2+2=412-12k22k4+5k2+2=412-14k2+4k2+10.因为4k2+4k2+1024k24k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),所以14k2+4k2+100,118,所以4 12-14k2+4k2+
18、10169,2.综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.4.解析(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n,与椭圆方程联立,可得4x2-6nx+3n2-4=0.因为点A,C在椭圆上,所以=-12n2+640,解得-433n433.设A,C两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=3n2,x1x2=3n2-44,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=n2.由四边形ABCD为菱形可知,点3n4,n4在直线y=x+1上,所以n4=3n4+1,解得n=-2.所以直线AC的方
19、程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形,且ABC=60,所以AB=BC=CA,因此菱形ABCD的面积S=32AC2.由(1)可得,AC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,(通过建立菱形ABCD的面积S与n的函数,利用函数的性质求最值,充分体现了函数与方程思想)所以S=34(-3n2+16)-433n0),则p=8,y2=16x;当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p0),则p=4,x2=-8y.故选C.8.答案62或3解析设渐近线y=bax的倾斜角为,(根据双曲线渐近线的斜率与1的大小关系进行分类讨论,充分体现了分类讨论思想)当
20、0ba1时,依题意有=2(90-)=180-2,由于cos =13,所以cos(180-2)=13,即1-tan21+tan2=-13,解得tan2=2,即b2a2=2,故离心率e=ca=1+b2a2=3.9.解析(1)设点M(x,y),依题意,得MF=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简并整理,得y2=2(|x|+x).(通过去绝对值,分x0和x0两种情况进行讨论)故当x0时,点M的轨迹C的方程为y2=4x,当x0时,点M的轨迹C的方程为y=0.(2)记C1:y2=4x(x0),C2:y=0(x0),依题意,可知直线l的方程为y-1=k(x+2).联立y-1=k(x+2),y2
21、=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(k为二次项系数,分k=0和k0两种情况进行讨论)(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.(ii)当k0时,方程的判别式=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则x0=-2k+1k.若0,x00,由解得k12,即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若=0,x00,x00,由解得k=-1或k=12或-12k0,x00,由解得-1k-12或0k12,即当k-1,-120,12时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k(-,-1)12,+0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k-12,0-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k-1,-120,12时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
