1、 类型1函数的零点与方程的根的关系及应用根据函数零点的定义，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有根，有几个根从图形上说，函数的零点就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化【例1】(1)函数f(x)log3 log2(42x)的零点为_(2)函数g(x)lg x与f(x)x26x9
2、的图象的交点个数为_，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0N*，使x0(n0，n01)，则n0_.思路点拨(1)可通过解方程来求零点(2)通过图象和零点存在定理来解(1)1(2)23(1)f(x)0时，log3log2(42x)0，则log2(42x)1，42x2，2x2，x1.(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)g(x)f(x)，h(2)lg 210，h(4)lg 410符合题意，m的值为3. 类型2函数的零点的应用函数的零点的应用很广泛，特别是在求参数的取值范围，函数在指定区间上的零点、方程的根的分布等诸多方面，与零点有关的参数的取值范围
3、问题综合性比较强，一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数，也可以转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数形结合，求出参数的取值范围该类问题属中档题，常与其他问题交汇命题【例2】若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，求实数a的取值范围解因为函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，所以方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a2，因为x1,1，所以2x，所以2.所以实数a的取值范围是.跟进训练2已知函数f(x)x22x, g(x) (1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解(1)gf(1)
4、g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象，如图，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是. 类型3构建函数模型解决实际问题数学建模是学生必备的学科素养之一，主要培养和提升建模能力和实际应用能力，将是以后高考的重要内容，利用建模解决实际问题的主要步骤为(1)建模：抽象出实际问题的数学模型(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解(3)评价、解释
5、：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解即：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域(2)利用模型f(x)ax求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件【例3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收
6、入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335.所以L(x) (2)当0x8时，L(x)(x6)29.此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9万元当x8时，L(x)35352 352015，当且仅当x时等号成立，即x10时，L(x)取得最大值15万元因为964时，要使y4,10，则40x100，所以64x100.综上所述，当年销售额x16,100(单位：万元)时，奖金y4,10(单位：万元)(2020
7、北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，用的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，正确；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力明显低于t1，t2时的，故错误
