1、天津市经济技术开发区第二中学2021届高三数学上学期第三次月考试题（含解析）第I卷（选择题共45分）一、选择题，本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.2. 等差数列中，则公差d=（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由条件，可得，又可得答案.【详解】等差
2、数列中，则 ，所以，则 故选：B3. 已知向量，若，则（）A. 2B. 4C. 3D. 1【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得，再利用向量共线条件，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因为，所以，解得.故选：D.4. 函数在区间上的最小值为（）A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由时，则可得答案.详解】当时，所以所以函数在区间上的最小值为1故选：A5. 设是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知， ，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，求得数列的公比，进而求得，结合求和公式，即可求解.【详解】设正项等比数列的公比为，因为，可得，解得或
3、（舍去），又由，可得，所以.故选：B.6. 若单位向量，的夹角为，向量，且，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件可得，即从而可得答案.【详解】由，可得所以，即，所以故选：A7. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积.【详解】因为，故，而，故，故，故三角形的面积为，故选：C.8. 将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像关于直线对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
4、析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得的表达式，进而求得的最小值【详解】将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍后解析式变为因为图像关于直线对称所以代入化简得，kZ所以当k=0时，取得最小值为所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题9. 已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解实数m的取值范围是（ ）A. (1，2)B. (，2C. (，1)(2，)D. (，12，)【答案】D【解析】【分析】分别讨论x0和x0，方程有解时，m的取值.【详解】当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m
5、1；当x0时，xf(x)m，即，解得m2，即实数m的取值范围是故选：D【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.第卷（非选择题共105分）二、填空题，本大题有6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卷中的横线上.10. 在中，若， ，则a=_.【答案】【解析】【分析】由三角形内角和求得，根据正弦定理求得.【详解】解：因为,由正弦定理得，故答案为：.11. 已知为虚数单位，复数满足，则复数z的实部为_.【答案】【解析】【分析】，然后算出即可.【详解】，所以所以复数z的实部为故答案为：12. 已知，向量，若与垂直，则=_.【答案】【解析】【
6、分析】由，则，根据可得答案.【详解】由，则即，由，所以故答案为：13. 函数的图象如图所示，则 ， .【答案】；【解析】试题分析：由题设所提供的图形信息可知,即,所以；又,故,由于,所以,应填.考点：正弦函数的图象和性质14. 菱形边长2，点P满足， ，若，则=_.【答案】【解析】【分析】用表示，利用数量积的运算律可求的值.【详解】因为，故.，所以，所以即.故答案为：.15. 定义为n个正数，的“均倒数”，若正数数列的前n项的“均倒数”为，且，则_.【答案】【解析】【分析】由“均倒数”的定义可得，由数列的递推式可得，再由裂项相消求和可得答案【详解】已知正整数列前项的“均倒数”为，可得，可得，当
7、时，时，对也成立，可得，则故答案为：三、解答题，本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.（）若的面积为，求a（）求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由已知条件及正弦定理，化简求得，进而求得，结合面积公式和余弦定理，即可求解；（2）利用二倍角公式求得的值，再根据两角和的正弦函数公式，即可求解.【详解】（1）由，根据正弦定理，可得，因为，可得，所以，又因为，可得，由的面积为，即，解得，又由余弦定理 ，可得，解得.（2）由，所以.【点睛】方法规律总结：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角
8、的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.17. 已知向量，函数（）求函数的最大值及取得最大值时的x值；（）求函数在上的单调递减区间.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）将解析式化为，然后可得答案；（）求出的所有单调递减区间，然后与取公共部分即可.【详解】（）所以当，即时，（）令，解得当时，与的公共部分为所以函数在上的单调递减区间为18. 设数列满足：， ，.设为数列的前n项和，且，.（I）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前n项和.【答案】（I），；（2）.【解析】【分析】（I）利用等比数列
9、的通项公式可求的通项公式，由可得，利用等比数列的通项公式可求的通项.（）利用错位相减法可求.【详解】（I）因为，且，故，所以，所以为等比数列且公比为3，故.因为，故，因为，故.又，所以，因，故且，故为等比数列且公比为2，故.（），故，所以，所以，故.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19. 已知三次函数，a，若函数的图象在处的切线方程为（I）求函数的解析式；（II）求函数的极小值；
10、（）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.【答案】（1），（2）的极小值为，（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，求出切点坐标，代入函数的解析式，求出，然后可得函数的解析式；（2）利用导数求出的单调性即可；（3）令，利用导数求出的最大值，然后转化不等式求出的范围【详解】（1）因为，直线的斜率为 所以， 当切点坐标为， （2），由可得或由可得所以在、上单调递增，在上单调递减所以的极小值为（3）令，则 令，则或当时，函数单调递减当时，函数单调递增所以函数在内取得最大值存在，使得成立即使得成立 20. 在等比数列中，已知，且，成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n项和为；（）记，求证：数列的前n项和.【答案】（I） （II） (）证明见解析【解析】【分析】（）利用，成等差数列及，计算即得答案；（）通过由等比数列的求和公式可得答案.(）由得（），由裂项相消法求和可得结论详解】（）解：设等比数列的公比为，由已知得：，即，即 ，即解得，又，；（）证明：由（）得：，（）由得（），所以【点睛】关键点睛：本题考查等差数列与等比数列的综合应用以及分组求和、公式法、裂项相消法求和.解答本题的关键是先分组求和即，将的表达式裂项即，用裂项相消法求和，属于中档题.
