1、3.2.2双曲线的几何性质基础过关练题组一根据双曲线的标准方程研究其几何性质1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则()A.实轴长为42,虚轴长为2B.实轴长为82,虚轴长为4C.实轴长为2,虚轴长为42D.实轴长为4,虚轴长为822.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()A.-14B.-4C.4D.143.(2021江苏扬州高邮高二上学期期中学情调研)双曲线x24-y25=1的渐近线方程为 ()A.y=52xB.y=255xC.y=45xD.y=54x4.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期期中)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率为3,则实数a的值为()A
2、.22B.12C.1D.2题组二由双曲线的几何性质求其标准方程5.(2020江苏泰州中学高二下学期期初检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=16.(2021江苏南京六合大厂高级中学高二上学期10月学情调研)以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点,左、右顶点为焦点的双曲线方程为()A.y23-x2=1B.x2-y23=1C.x24-y23=1D.x23-y24=17.已知双曲线x2a2-y2b2=1(
3、a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为1,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=12B.x2-y2=1C.x2-y2=2D.x2-y2=28.(2021江苏淮安淮阴师范学院附属中学高二上学期期中)过点(3,-1)且与双曲线x23-y2=1有公共渐近线的双曲线的标准方程是.题组三双曲线的渐近线9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62,则其渐近线方程为()A.y=2x B.y=22xC.y=12xD.y=2x10.(2021江苏无锡江阴第一中学高二上学期期中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长是虚轴长的两倍,则它的渐近线方程为()A.y=12x
4、B.y=2xC.y=2xD.y=3x11.在平面直角坐标系xOy中,若椭圆C:x29+y2m=1与双曲线T:x2-y2m=1有相同的焦点,则双曲线T的渐近线方程为()A.y=14xB.y=12xC.y=4xD.y=2x12.(2021江苏徐州沛县歌风中学高二上学期学情调研)已知离心率为2的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点.若AOF的面积为2,则实数a的值为()A.2B.22C.4D.8题组四求双曲线的离心率的值(范围)13.(2021江苏泰州中学高二上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,若点P(43
5、,0)到双曲线C:x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为()A.2B.4C.2D.314.(2020江苏淮安淮阴中学高二上学期期末)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2 D.23315.(2021江苏南京秦淮中学高二上学期第一次段考)若双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a0,b0)的渐近线与圆(x-3)2+y2=1无交点,则C的离心率的取值范围为()A.1,324B.1,233C.324,+D.233,+能力提升练题组一双曲线的几何性质及其应用1.(202
6、0江苏南通高二上学期第一次教学质量调研,)若实数k满足0k0,b0)交于A、B两点,以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若ABF的面积为4a2,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.53.(2020江苏常州前黄高级中学高二上学期期末,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(ab0)的右焦点为F,点P在C的一条渐近线x+2y=0上,O为坐标原点,若OF=PF,且POF的面积为22,则C的方程为()A.x22-y2=1B.x24-y22=1C.x26-y23=1D.x28-y24=14.(2021江苏扬州大学附属中学高二上学期期中,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右
7、焦点分别为F1,F2,A,B为其左、右顶点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且MAB=30,则双曲线的离心率为()A.212B.213C.193D.1925.(2021江苏徐州第一中学高二上学期期中,)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆x2+y2=a29的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于P,若FP=2FE,则双曲线的渐近线方程为()A.y=223xB.y=196xC.y=155xD.y=62x6.(2021江苏南京高二上学期期中,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A,
8、B两点,A,B两点分别在一、四象限,若AFBF=513,则双曲线C的离心率为()A.1312B.133C.135D.137.(2020江苏南通高二上学期第一次教学质量调研,)在平面直角坐标系xOy中,过双曲线x2a2-y2b2=1 (a0,b0)的右焦点作垂直于x轴的直线l,l与双曲线的渐近线交于A、B两点,且三角形ABO为等腰直角三角形,若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为.8.2021新高考八省(市)1月联考,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BFAF时,AF=BF.(1)求C的离心率;(2)若B在第一象限,证明:
9、BFA=2BAF.题组二双曲线几何性质的综合应用9.(2021江苏南京人民中学高二上学期9月月考,)下列三图形中的多边形均为正多边形,M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的F1,F2为焦点(焦点在x轴上),设图,图,图中的双曲线的离心率分别为e1,e2,e3,则e1,e2,e3的大小关系为()A.e1e2e3B.e1e2e3C.e2=e3e210.(多选)(2021江苏宿迁沭阳修远中学、洪翔中学高二上学期第一次联考,)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1PF2=0,则下列结论正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=xB.PF1
10、F2的面积为1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=111.(多选)(2021江苏南京天印高级中学高二上学期10月学情调研,)已知点P在双曲线x216-y29=1上,F1,F2分别是左、右焦点,若PF1F2的面积为20,则下列判断正确的是()A.点P到x轴的距离为203B.PF1+PF2=503C.PF1F2为钝角三角形D.F1PF2=312.(2021江苏扬州中学高二上学期期中,)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,求3e1+e24的
11、最小值.13.()已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.答案全解全析基础过关练1.B双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为x232-y24=1,可得a=42,b=2,所以双曲线的实轴长为82,虚轴长为4.2.A双曲线方程化为标准方程为y2-x2-1m=1,则有a2=1,b2=-1m.由题意得,2=-1m,解得m=-14.3.A双曲线x24-y25=1中,a=2,b=5,所以双曲线x24-y25
12、=1的渐近线方程为y=bax=52x.故选A.4.A双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率为3,故a2+1a=3,解得a=22.故选A.5.C由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,双曲线C的标准方程是x2-y23=1.故选C.6.B由椭圆x24+y23=1得焦点为(1,0),左、右顶点分别为(2,0)、(-2,0).双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0).设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a=1,c=2,b2=c2-a2=3.则双曲
13、线的标准方程为x2-y23=1.故选B.7.B因为曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)为等轴双曲线,所以a2=b2,则c=a2+b2=2a,所以双曲线的焦点坐标为(2a,0),渐近线方程为xy=0,因为焦点到渐近线的距离为1,所以2a2=1,解得a=1,则双曲线的标准方程为x2-y2=1.故选B.8.答案x26-y22=1解析设与双曲线x23-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是x23-y2=(0),因为双曲线x23-y2=过点(3,-1),所以93-(-1)2=,即=2,所以所求双曲线的标准方程为x26-y22=1.9.B双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62,即ca=6
14、2.又ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=62,所以b2a2=12,ba=22.故双曲线的渐近线方程为y=22x.故选B.10.A因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长是虚轴长的两倍,所以2a=4b,故ba=12,所以该双曲线的渐近线方程为y=12x.故选A.11.D因为椭圆C:x29+y2m=1与双曲线T:x2-y2m=1有相同的焦点,所以它们的焦点在x轴上,所以9-m=1+m,解得m=4,故双曲线T:x2-y24=1,双曲线T的渐近线方程为y=2x.故选D.易错警示在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中有a2-b2=c2,在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b
15、0)中有a2+b2=c2,注意不要混淆.12.A因为双曲线的离心率为2,所以c=2a,则c2=2a2=a2+b2,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为y=x,则AOF=45,易知OAF=90,所以AOF为等腰直角三角形,所以SAOF=12c12c=2,解得c=22,所以a=2.故选A.13.A双曲线C:x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线为3x-ay=0,则1239+(-a)2=6,解得a=3,e=ca=9+33=2.故选A.14.A双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为bxay=0,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离d=|2b+a0|a2+b2=2bc=22-1
16、2,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,故双曲线的离心率e=c2a2=4=2.故选A.解题通法求双曲线的离心率的值(范围)常用两种方法:求出a,c,代入公式e=ca;根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),求解即可.15.C由题意知,双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,不妨取y=bax,即bx-ay=0,则圆心(3,0)到此直线的距离d=3ba2+b21,解得8b2a2,即8(c2-a2)a2,即e298,又e1,所以离心率的取值范围为e324.故选C.
17、能力提升练1.D0k0,25-k0,双曲线x225-y29-k=1的实半轴长为5,虚半轴长为9-k,焦距为225+(9-k)=234-k,离心率为34-k5,双曲线x225-k-y29=1的实半轴长为25-k,虚半轴长为3,焦距为2(25-k)+9=234-k,离心率为34-k25-k,因此,两双曲线的焦距相等.故选D.2.D设双曲线的左焦点为F1,根据双曲线和圆的对称性知,圆过双曲线的左、右焦点,如图,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为矩形.易知AF1-AF=2a,AF12+AF2=F1F2=(2c)2,所以(AF1-AF)2=AF12-2AF1AF+AF2=F1F2-2AF1AF,又
18、因为SABF=SAF1F=12AF1AF=4a2,所以(2a)2=(2c)2-16a2,解得c=5a,所以e=ca=5.故选D.3.B直线x+2y=0为双曲线C:x2a2-y2b2=1(ab0)的一条渐近线,设双曲线C的方程为x22-y2=1(0),则右焦点F(3,0),故右焦点F到直线x+2y=0的距离d=33=,OP=2OF2-d2=22,SPOF=12OPd=1222=22,=2,故C的方程为x24-y22=1.故选B.4.B由题意得双曲线的渐近线方程为y=bax, 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,联立y=bax,x2+y2=c2,可得x=a,y=b或x=-a,y=-b,M
19、(a,b),MAB=30,直线AM的斜率k=33, 又k=b2a,3b2=4a2=3(c2-a2) ,即3c2=7a2 ,则离心率e=ca=213.故选B.5.A结合题意画出图形,记右焦点为F1,如图:由FP=2FE,知E为FP中点,又O是FF1中点,所以OE是FPF1的中位线,所以OEPF1.由题意知OEEF,所以FPF1P.由题知OE=a3,所以F1P=2a3,结合双曲线的定义可得FP=2a+F1P=8a3,又FPF1为直角三角形,所以FP2+F1P2=FF12,即8a32+2a32=(2c)2,即a2=917c2,由c2=a2+b2a2=917(a2+b2),即b2a2=89,所以双曲线
20、的渐近线方程为y=bax=223x.故选A.6.B双曲线C的右焦点F(c,0),渐近线方程为y=bax,即bxay=0,根据题意画图如下:由点到直线的距离公式可知AF=|bc|b2+a2=b,因为AFBF=513,所以BF=13b5,故AB=18b5,设AOF=,由双曲线的对称性可知AOB=2,而tan =ba,故tan 2=ABOA=18b5a=18b5a,由二倍角的正切公式可知tan 2=2tan1-tan 2=2aba2-b2,即18b5a=2aba2-b2,化简可得4a2=9b2,所以e=ca=1+b2a2=139=133.故选B.7.答案x24-y24=1解析易知双曲线的渐近线方程为
21、bxay=0,由三角形ABO为等腰直角三角形,可得AOB=90,则ba=1,即a=b,则双曲线的渐近线方程为y=x,则a2=2,可得a=2,所以双曲线的标准方程为x24-y24=1.8.解析(1)当BFAF时,BF=b2a,AF=BF,a+c=b2a,则a2+ac=c2-a2,故(e-2)(e+1)=0,所以e=2(e=-1舍去).(2)证明:由ca=2,得c=2a, 故双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,设B(x0,y0),当x0c时,tanBAF=y0x0+a,tanBFA=y0c-x0,则tan 2BAF=2tanBAF1-tan2BAF=2y0x0+a1-y0x0+a2=2y0(
22、x0+a)(x0+a)2-y02,因为B在双曲线C上,所以y02=3(x02-a2),则tan 2BAF=2y0(x0+a)(x0+a)2-3(x02-a2)=2y0(x0+a)2(2a2-x02+ax0)=y0(x0+a)(a+x0)(2a-x0)=y02a-x0=y0c-x0=tanBFA,故BFA=2BAF.当x0=c时,BFAF,则AF=BF,BFA=90,BAF=45,BFA=2BAF.综上,BFA=2BAF.9.D设等边三角形的边长为2,以F1F2所在直线为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则双曲线的焦点为(1,0),且过点12,32,点12,32到两
23、个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是94+34=3和14+34=1,此双曲线的实半轴长为3-12,e1=13-12=3+1.设正方形的边长为2,分别以两条对角线所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则双曲线的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),且过点12,12.点12,12到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是94+14=102和14+14=22,此双曲线的实半轴长为10-24,e2=110-24=10+22.设正六边形的边长为2,以F1F2所在直线为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),且过点(1
24、,3),点(1,3)到两个焦点(-2,0)和(2,0)的距离分别为23和2,此双曲线的实半轴长为3-1,e3=23-1=3+1.故e1=e3e2.故选D.10.AB对于A,双曲线的渐近线方程为y=x,所以A正确;对于B,由双曲线C:x2-y2=1,可得a=1,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),设P(x,y),则PF1=(-2-x,-y),PF2=(2-x,-y),所以PF1PF2=(-2-x)(2-x)+(-y)2=0,得x2+y2=2,因为点P在双曲线上,所以x2-y2=1,解得|y|=22,所以PF1F2的面积为12F1F2|y|=122222=1,所以B正确;对于C,F
25、1(-2,0)到一条渐近线x-y=0的距离为|-2|1+1=1,所以C错误;对于D,由于 F1(-2,0),F2(2,0),所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为2,所以圆的方程为x2+y2=2,所以D错误.故选AB.11.BC由双曲线方程得a=4,b=3,则c=5,由PF1F2的面积为20,得122c|yP|=1210|yP|=20,得|yP|=4,即点P到x轴的距离为4,故A错误;将|yP|=4代入双曲线方程得|xP|=203,根据双曲线的对称性不妨设P203,4,则PF2=203-52+42=133,由双曲线的定义知PF1-PF2=2a=8,则PF1=8+133=373,则P
26、F1+PF2=373+133=503,故B正确;在PF1F2中,PF1=3732c=10PF2=133,kPF2=4-0203-5=1250,所以PF2F1为钝角,则PF1F2为钝角三角形,故C正确;cosF1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=3732+1332-1002133373=31948112,故D错误.故选BC.12.解析设椭圆对应的参数为a1,b1,c,双曲线对应的参数为a2,b2,c,由于线段PF1的垂直平分线过F2,所以F1F2=PF2=2c.根据双曲线和椭圆的定义有PF1+2c=2a1,PF1-2c=2a2,两式相减得4c=2(a1-a2),即a1-a2=
27、2c,所以a1=2c+a2.所以3e1+e24=3a1c+c4a2=6+3a2c+c4a26+23a2cc4a2=6+3,当且仅当c=23a2时取等号,故3e1+e24的最小值为6+3.13.解析(1)由题意知a=23,所以一条渐近线为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,所以b2=3.所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程,得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.所以x0y0=433,x0212-y023=1,所以x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),所以t=4,点D的坐标为(43,3).
