1、2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1设i是虚数单位，复数=（）A22iB22iC2+2iD2+2i2变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D53某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D74下列说法错误的是（）A命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”B对于命题p：x0R，x+x0+10，则p：xR，x2+x+10C若m，nR，“lnmlnn”是“emen”的充分不必要条件D若pq为假
2、命题，则p、q均为假命题5在的二项展开式中，含x2的系数为（）ABCD6已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）Ax2y=0B2xy=0CD7如图，菱形ABCD的边长为2，BAD=60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A3BC6D98定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB2a1C12aD2a1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校
3、学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取_名10某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是_11在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程=2cos+2sin曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为_12由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为_13如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B
4、的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若BTC=120，AB=4，则PQPB=_14已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b0（a0）的解集是，且ab，则，实数t的取值集合为A集合B=m|x+1|x3|m23m，xR恒成立，则A（UB）=_三.解答题（本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间，上的最值；（）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值16A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A
5、袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球（）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望17已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点（）求证：EF平面PAD；（）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段P
6、M的长度，若不存在，说明理由18已知等比数列an的公比q1，首项，成等差数列（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Tn；（）若，Pn为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k19已知椭圆C：离心率，短轴长为2（）求椭圆C的标准方程；（） 设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（） 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论20已知函数（mR），（）求曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线
7、与直线x+2y5=0垂直，求m的值；（）若关于x的不等式f（x）mx2+（m1）x1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=1，mR设F（x）=f（x）+x且正实数x1，x2满足F（x1）=F（x2），求证：x1+x212016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1设i是虚数单位，复数=（）A22iB22iC2+2iD2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，故选：D2变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3
8、y的最小值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+31=4，故选：C3某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；
9、当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A4下列说法错误的是（）A命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”B对于命题p：x0R，x+x0+10，则p：xR，x2+x+10C若m，nR，“lnmlnn”是“emen”的充分不必要条件D若pq为假命题，则p、q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A利用逆否命题的定义判断即可；B存在命题，应把存在改为任意，再否定结论；C根
10、据充分不必要条件的定义判断即可；D根据且命题的真假判断依据判断即可【解答】解：对于A，逆否命题把命题的条件和结论互换，再同时否定，故命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”，故正确；对于B，对于存在命题，应把存在改为任意，再否定结论，故命题p：x0R，x+x0+10，则p：xR，x2+x+10，故正确；对于C，若m，nR，“lnmlnn”，则0mn，可得“emen”，但由“emen”，m，n也可能为负值，不一定得出lnmlnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D，且命题为假命题，p和q不能都是真命题，但也不一定都是假命题，故错误故选：D5在的二项展开式
11、中，含x2的系数为（）ABCD【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x2项的系数即可【解答】解：二项展开式的通项公式为：Tr+1=（1）r，令12=2，解得r=4；所以展开式中含x2项的系数为：（1）4C62（）2=故选：B6已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）Ax2y=0B2xy=0CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程【解答】解：点P在抛物线y2
12、=8x上，|PF|=5，P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5=52=3因此y02=8x0=24，得y0=2点P（3，2）在双曲线上可得9=1，解之得m=3双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=，即y=x故选：C7如图，菱形ABCD的边长为2，BAD=60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A3BC6D9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可【解答】解：以点A位坐标原点建立如图所示的直
13、角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，A=60，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D8定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB2a1C12aD2a1【考点】函数的零点【分析】函数F（x）=f（x）a（0a1）的零点转化为：在同一坐标系内
14、y=f（x），y=a的图象交点的横坐标作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案【解答】解：当x0时，f（x）=；即x0，1）时，f（x）=（x+1）（1，0；x1，3时，f（x）=x21，1；x（3，+）时，f（x）=4x（，1）；画出x0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）a=0共有五个实根，最左边两根之和为6，最右边两根之和为6，x（1，0）时，x（0，1），f（x）=（x+1），又f（x）=
15、f（x），f（x）=（x+1）=（1x）1=log2（1x），中间的一个根满足log2（1x）=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的和为12a故选：A二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，高一应抽取的学生数为300=15故答案为：151
16、0某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥ABCD，其中底面BCD中，CDBC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥ABCD底面RtBCD中，BCCD，且BC=5，CD=4侧面ABC中，高AEBC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面ACD中，AC=5平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，AEBCAE平面BCD，结合CD平面BCD，得AECDBCCD，AEBC=ECD平面ABC，结合AC平面ABC，
17、得CDAC因此，ADB中，AB=2，BD=，AD=，cosADB=，得sinADB=由三角形面积公式，得SADB=6又SACB=54=10，SADC=SCBD=45=10三棱锥的表面积是S表=SADB+SADC+SCBD+SACB=30+6故答案为：30+611在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程=2cos+2sin曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：xy+6=0曲线C2的方程=2cos+
18、2sin，即2=2cos+2sin，把2=x2+y2，x=cos，y=sin代入即可得出直角坐标方程求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=dr【解答】解：直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：xy+6=0曲线C2的方程=2cos+2sin，即2=2cos+2sin，可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y，配方化为：（x+1）2+（y1）2=2，可得圆心C2（1，1），半径r=圆心到直线的距离d=2曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=2=故答案为：12由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在
19、A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A的面积为S=33=9，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为S=331113dx=4ln3；根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B内的概率为P=故答案为：13如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若BTC=120，AB=4，则PQPB=3【考点】直线与圆的位置
20、关系【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得COB=60=BTM，BMT=30，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得 MC，求得PC=MPMC的值，据PQPB=PC2 求出结果【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，BTC=120，则COB=60=BTM，BMT=30TB=TC=OBtan30=，BM=2由切割线定理可得 MC2=MBMA=2（2+4）=12，MC=2cosBMT=，MP=3，PC=MPMC=32=，由切割线定理可得 PQPB=PC2=3，故答案为 314已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b0（a0
21、）的解集是，且ab，则，实数t的取值集合为A集合B=m|x+1|x3|m23m，xR恒成立，则A（UB）=【考点】交、并、补集的混合运算【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b0（a0）的解集是，a0，且对称轴=，则判别式=44ab=0，即ab=1，则=ab+，ab，ab0，则t=ab+2=2，即A=2，+），|x+1|x3|3（1）|=4，若|x+1|x3|m23m，xR恒成立，则m23m4，即m23m40，即m4或m1，即B=m|m4或m1，则UBm|1m4，则A（UB）=m|2m4，故答案
22、为：三.解答题（本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间，上的最值；（）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出（），由于0C，可得：2C，可得C因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出【解答】解：（）f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+
23、）=cos2x+sin2x+2（sinxcosx）（sinx+cosx）=cos2x+sin2xcos2x=，4分对称轴方程为：，x，f（x）在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f（x）取最大值 1 又=，当x=时，f（x）取最小值 （），0C，02C2，2C，=，C=，因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b22abcos，即c2=a2+b2ab=3 解得：a=1，b=216A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球（
24、）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率（）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】（本小题满分13分）解：（）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，则P（A）=1=（）依题意，X的可能取值为0，1，
25、2甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1）（1）=，P（X=1）=，P（X=2）=，所以X的分布列为： X 0 1 2 PEX=17已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点（）求证：EF平面PAD；（）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）根据线面垂直的判
26、定定理即可证明EF平面PAD；（）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可【解答】（）证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，ABADAB平面PAD，又EFABEF平面PAD，（）取AD中点O，连结PO平面PAD平面ABCD，POADPO平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：O（0，0，0）A（0，2，0）B（4，2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），E（0，1，），设平面EFG的法向
27、量为，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为（）设，=，即223+2=0，无解，不存在这样的M18已知等比数列an的公比q1，首项，成等差数列（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Tn；（）若，Pn为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）由题意知3q24q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（）由（）知，从而利用错位相减法求其前n项和Tn；（）化简为cn=2n1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n项和【解答】解：（）成等差数列，4a2=a1+3a3，3
28、q24q+1=0，q1，an=；（）由（），得，（）由，得cn=2n1， =，不超过P2016的最大的整数k是201619已知椭圆C：离心率，短轴长为2（）求椭圆C的标准方程；（） 设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（） 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（）当直线的斜率存在时，设出直
29、线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立即可得到所求直线的方程；（）以MN为直径的圆过定点（1，0）求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标【解答】解：（）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1椭圆C的标准方程为；（）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合直线方程为和（）以MN为直径的圆过定点（1，0）证明如下：设P（x0，y0），则Q（x0，y0），且，即，A（2，0），
30、直线PA方程为：，直线QA方程为：，以MN为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程即，令y=0，则x21=0，解得x=1以MN为直径的圆过定点（1，0）20已知函数（mR），（）求曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线与直线x+2y5=0垂直，求m的值；（）若关于x的不等式f（x）mx2+（m1）x1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=1，mR设F（x）=f（x）+x且正实数x1，x2满足F（x1）=F（x2），求证：x1+x21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；（）构造函数
31、，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1x20，得到（t）=tlnt，根据函数的单调性，证出结论即可【解答】解：（）切线的斜率k=f（1）=1+m，1+m=2，m=（）由题意，设当m0时，因为x0，所以G（x）0所以G（x）在（0，+）上是单调递增函数，所以关于x的不等式G（x）0不能恒成立当m0时，令G（x）=0，因为x0，得，所以当时，G（x）0；当时，G（x）0因此函数G（x）在是增函数，在是减函数故函数G（x）的最大值为令，因为h（m）在m（0，+）上是减函数，又因为，所以当m2时，h（m）0所以整数m的最小值为2（）m=1时，由F（x1）=F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x1x20，则由（t）=tlnt得，可知（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1，所以，解得，因为x1，x2为正数，所以成立2016年9月7日
