1、 坐标系与参数方程高考试题考点一 坐标系1.(2010年湖南卷,文4)极坐标方程=cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()(A)直线、直线(B)直线、圆(C)圆、圆 (D)圆、直线解析:=cos ,2=cos ,x2+y2=x,表示圆.又两式相加得x+y=1,表示直线.答案:D2.(2012陕西卷,文15C)直线2cos =1与圆=2cos 相交的弦长为.解析:化极坐标为直角坐标得直线x=,圆(x-1)2+y2=1,由勾股定理可得相交弦长为2=.答案:3.(2012年湖南卷,文10)在极坐标系中,曲线C1:(cos +sin )=1与曲线C2:=a(a0)的一个交点在极轴上,则a=
2、.解析:将极坐标方程化成直角坐标方程得C1:x+y-1=0,C2:x2+y2=a2,交点在极轴上,则y=0,x=,即交点坐标为,代入C2方程可得a=.答案:4.(2011年湖南卷,文9)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为(cos -sin )+1=0,则C1与C2的交点个数为.解析:曲线C1化为普通方程为+=1,是椭圆,对曲线C2:(cos -sin )+1=0,cos -sin +1=0,x-y+1=0,是直线,易得直线x-y+1=0与椭圆+=1有两个交点.答案:25
3、.(2011年陕西卷,文15C)在直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C1: (为参数)和曲线C2:=1上,则|AB|的最小值为.解析:曲线C1为以E(3,0)为圆心,以r1=1为半径的圆,曲线C2为以原点O为圆心,以r2=1为半径的圆,则|AB|的最小值为|EO|-r1-r2=3-1-1=1.答案:16.(2012年辽宁卷,文23)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)
4、求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解:(1)圆C1的极坐标方程为=2,圆C2的极坐标方程为=4cos ,解得=2,=,故圆C1与圆C2交点的坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,- ).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为-t.(或参数方程写成-y)法二将x=1代入得cos =1,从而=,于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为-.7.(2012年江苏卷,21C)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线sin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解:在sin=-中令=0,得=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆
5、C的半径PC=1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos .8.(2010年浙江自选模块,04)如图,在极坐标系Ox中,已知曲线C1:=4sin (),C2:=4cos (或2),C3:=4.(1)求由曲线C1,C2,C3围成的区域的面积;(2)设M,N(2,0),射线=与曲线C1,C2分别交于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB的中点恰好落在直线MN上,求tan 的值.解:(1)由已知,如图弓形OSP的面积=22-22=-2,从而,如图阴影部分的面积=22-2(-2)=4,故所求面积=42+22-4=6-4.(2)设A(A,),B(B,),AB的中点为G(,),ONG=.由题意=
6、2sin +2cos ,sin =,cos =.在OGN中,=,即=,所以sin +cos =.化简得sin2-3sin cos =0,又因为sin 0,所以tan =3.考点二 参数方程1.(2013年陕西卷,文15C)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是.解析:由消去参数t得x=,即y2=4x,则焦点坐标为(1,0).答案:(1,0)2.(2013年广东卷,文14)已知曲线C的极坐标方程为=2cos .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.解析:曲线C的普通方程为x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,所以曲线C的参数方程为(为参数).答案: (为参数)
7、3.(2013年湖南卷,文11)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1: (s为参数)和直线l2: (t为参数)平行,则常数a的值为.解析:把参数方程化为直角坐标方程,直线l1:消去s为x=2y+1,整理为x-2y-1=0,直线l2:消去t为2x=ay+a,整理为2x-ay-a=0,若l1l2, =,得a=4.答案:44.(2012年广东卷,文14)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(为参数,0)和(t为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为.解析:C1的普通方程为x2+y2=5(x0,y0),C2的普通方程为x-y-1=0,由得即C1与C2的交点坐标为(2,1).答案:(2
8、,1)5.(2011年广东卷,文14)已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR),它们的交点坐标为.解析:由(0)得+y2=1(0y1,x-),由(tR),得y2=x,联立方程组解得x=1,y=,交点坐标为.答案:6.(2010年陕西卷,文15C)参数方程(为参数)化成普通方程为.解析:(为参数),(为参数).x2+(y-1)2=1,此即为所求普通方程.答案:x2+(y-1)2=17.(2013年新课标全国卷,文23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2
9、交点的极坐标(0,02).解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0.所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(,),(2, ).8.(2013年辽宁卷,文23)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos(-)=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的
10、圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),求a,b的值.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为(4, ),(2,).(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,由参数方程可得y=x-+1.所以解得a=-1,b=2.9.(2013年新课标全国卷,文23)已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示
11、为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)M点到坐标原点的距离d=(0b0,为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合.(1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(2)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=-时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.解:(1
12、)C1:x2+y2=1,C2: +=1(ab0),C1是圆,C2是椭圆.当=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.当=时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和+y2=1.当=时,射线l:y=x(x0)与C1的交点A1的横坐标为x=,与C2的交点B1的横坐标为x=.当=-时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为=.12.(2010年新
13、课标全国卷,文23)已知直线C1:(t为参数),圆C2: (为参数).(1)当=时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0), .(2)C1的普通方程为xsin -ycos -sin =0.A点坐标为(sin2,-cos sin ).故当变化时,P点轨迹的参数方程为(为参数).所以P点轨迹的普通方程为+y2=.故P点的轨迹是圆心为,半径为的圆.模拟试题考点一 坐标系1.(2012
14、天津一中月考)已知圆的极坐标方程为=2cos ,则该圆的圆心到直线sin +2cos =1的距离是.解析:=2cos 化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),直线sin +2cos =1化为直角坐标方程为2x+y-1=0,圆心(1,0)到直线2x+y-1=0的距离d=.答案:2.(2012广州模拟)设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,则直线l的直角坐标方程为.解析:将A化为直角坐标为A(,1),又直线l的倾斜角为,故其斜率为,所以l的方程为y-1=(x-),即x-y-2=0.答案: x-y-2=03.(2011深圳调研)在极坐标系中,P,Q
15、是曲线C:=4sin 上任意两点,则线段PQ长度的最大值为.解析:由曲线C:=4sin ,得2=4sin ,x2+y2-4y=0,x2+(y-2)2=4,即曲线C:=4sin 是以点(0,2)为圆心,以2为半径的圆,易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径.答案:44.(2011广州调研)在极坐标系中,直线sin(+)=2被圆=4截得的弦长为.解析:由sin=2,得(sin +cos )=2可化为x+y-2=0.圆=4可化为x2+y2=16,由圆的弦长公式得2=2=4.答案:4考点二 参数方程1.(2012宝鸡中学月考)点A(2,-1)到直线(t为参数)的距离等于.解析:将直线的参数方
16、程化为普通方程为x+2y+5=0,由点到直线的距离公式得d=.答案:2.(2012西工大附中模拟)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变,建立极坐标系,则曲线(为参数)的极坐标方程是.解析:将曲线的参数方程化为普通方程为x2+(y-2)2=4,又x=cos ,y=sin ,将其代入上述方程,得2cos2+(sin -2)2=4,整理得=4sin .答案:=4sin 3.(2013云南省玉溪一中高三检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C方程为(为参数).(1)求过椭圆的右焦点,且与直线(t为参数)平行的直线l的普通方程.(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.解:(1
17、)由已知得椭圆的右焦点为(4,0),已知直线的参数方程可化为普通方程:x-2y+2=0,所以k=,于是所求直线方程为x-2y-4=0.(2)S=4|xy|=60sin cos =30sin 2,当2=时,面积最大为30.4.(2012福州八中质检)求直线被曲线截得的线段长.解:直线的普通方程为x+y+2=0.曲线即圆心为(1,-1),半径为4的圆.则圆心(1,-1)到直线x+y+2=0的距离d=,设直线被曲线截得的线段长为t,则t=2=2.直线被曲线截得的线段长为2.综合检测1.(2013云南师大附中高三高考适应性调研)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R),以极点为原点,极轴为x轴的正半
18、轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.解:因为直线l的极坐标方程为=(R),所以直线l的直角坐标方程为y=x,又因为曲线C的参数方程为(为参数),所以曲线C的普通方程为y=x2(x-2,2),联立解方程组得或根据x的范围应舍去故点P的直角坐标为(0,0).2.(2012豫东豫北十所名校联考)已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求点Q到直线l
19、的距离的最小值与最大值.解:(1)将点P化为直角坐标,得P(2,2),直线l的普通方程为y=x+1,显然点P不满足直线l的方程,所以点P不在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上,所以可设点Q(2+cos ,sin ),点Q到直线l:y=x+1的距离d=,所以当sin=-1时,dmin=,当sin=1时,dmax=.故点Q到直线l的距离的最小值为,最大值为.3.(2011常州模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2,2-2cos=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解:(1)=22=4,所以圆O1直角坐标方程为x2+y2=4.由2-
20、2cos=2,得2-2(cos cos +sin sin )=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为cos +sin =1,即sin=.4.(2011南平模拟)过P(2,0)作倾斜角为的直线l与曲线E: (为参数)交于A,B两点.(1)求曲线E的普通方程及l的参数方程;(2)求sin 的取值范围.解析:(1)曲线E的普通方程为x2+2y2=1,l的参数方程为(t为参数).(2)将l的参数方程代入曲线E的普通方程得(1+sin2)t2+(4cos )t+3=0,由=(4cos )2-4(1+sin2)30,得sin2,0sin .
