1、饶平县第一中学2014-2015年高中（理科）数学竞赛试题 （满分120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：(本大题共12小题每小题3分；共36分)1、已知复数的虚部为（ ）A B C D 12、已知A(1，a)、A(a，8)两点的直线与直线2xy+1=0平行，则a的值为A.10 B. 2 C. 10 D.-23、已知x与y之间的一组数据： x0123 y1357则y与x的线性回归方程为 必过点 （ ） A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D(1.5,4)4、曲线y=与直线x=1,x=4及x轴所围成的区域的面积是（ ）A Bln2 C2ln2 Dln225、设随机变量等于
2、 ( ) A. B. C. D.6、某班有48名学生，其中男生32人，女生16人，李老师随机地抽查8名学生的作业，用X表示抽查到的女生人数，则E（X）的值为（ ）ABC3D47、把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（）A48 B24C60D1208、设是离散随机变量，且. 又，则的值等于（ ） A.B. C. D.9、一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD10、如图是函数的导函数的图象，给出下列命题
3、：是函数的极值点； 是函数的最小值点；在处切线的斜率小于零；在区间上单调递增。则正确命题的序号是（ ）A B C D11、函数（ ）A在上单调递增B在上单调递增，在上单调递减 C在上单调递减 D在上单调递减，在上单调递增12、若关于x的方程x3 3x+m=0在0,2上有根，则实数m的取值范围是（ ）A2,2 B0,2 C2,0 D(,2)(2, )二、填空题：（本大题共6小题；每小题4分，共24分）13. 在直角坐标系中，过双曲线的左焦点作圆的一条切线（切点为）交双曲线右支于，若为线段的中点，则= 14. 如右图，从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交 双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中
4、点，O为坐标原点，则 MOMT等于 15.设正数数列的前项之和是，数列前项之积是，且，则数列中最接近108的项是第 项16.若，在区间上是增函数，则方程有且只有一解时p的取值范围是 17. 有一个正四面体，它的棱长为，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 18. .使关于x的不等式有解的实数k的取值范围是 .三、解答题：（本大题共5小题；共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19(本题满分10分)在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值 20 (本题满分12分)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1
5、ACC1是边长为2的菱形，A1AC60o在面ABC中，AB2，BC4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N (1)求证：N为AC中点； (2)平面A1B1MN平面A1ACC121. （本小题满分10分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.(1)求p的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为，求的分布列和数学期望.来源:Z&xx&k.Com22（本小题满分14分）设（），曲线在点处的切线方程
6、为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围23（本小题满分14分）已知数列an的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的两根，且a1=1.(1)求数列 an和bn的通项公式；(2)设Sn是数列an的前n项的和，问是否存在常数，使得bnSn0对任意nN*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.饶平县第一中学2014-2015年高中（理科）数学竞赛试题参考答案一、选择题：(本大题共12小题每小题3分；共36分)题号123456789101112答案DADCBBCCDBAA二、填空题：（每题4分，共16分） 13 14 15110
7、 16 17 18 三、解答题：(本大题共5小题共60分)19(本题10分)在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值（1）因为，所以，所以，即， 所以，又，所以 （2）在中，由余弦定理有，所以，来源:Z*xx*k.Com由基本不等式，可得，当且仅当时，取等，所以的面积，故的面积的最大值为 21 (本题12分)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，A1AC60o在面ABC中，AB2，BC4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N (1)求证：N为AC中点； (2)平面A1B1MN平面A1ACC1解 (1)由题意，平
8、面ABC/平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN/ A1B1因为AB/ A1B1，所以MN/AB，所以BCA1B1C1MNA因为M为AB的中点，所以1，所以N为AC中点 (2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，A1AC60o 在三角形A1AN中，AN1，AA12，由余弦定理得A1N， 故A1A2AN2A1N2，从而可得A1NA90o，即A1NAC在三角形ABC中，AB2，AC2，BC4，则BC2AB2AC2，从而可得BAC=90o，即ABAC又MN/AB，则ACMN因为MNA1NN，MN 面A1B1MN，A1N面A1B1MN
9、，所以AC平面A1B1MN 又AC平面A1ACC1，所以平面A1B1MN平面A1ACC122. （本小题满分10分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.(1)求p的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为，求的分布列和数学期望.解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则依题意得， 解得，故p的值为.
10、(2)的取值分别为0，2，4. ， ， ， 的分布列为024PE= 22（本小题满分14分）设（），曲线在点处的切线方程为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围18【解析】(1)，由题设，又切点为在切线上，。 (2) ，即，设，即，若，在上为增函数，来源:学_科_网来源:学科网这与题设矛盾；若方程的判别式，当，即时，.在上单调递减， ，即不等式成立，当时，方程，设两根为， ， ，来源:学&科&网当,单调递增，与题设矛盾，综上所述，23（本小题满分14分）已知数列an的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的两根，且a1=1.(1)求数列
11、 an和bn的通项公式；(2)设Sn是数列an的前n项的和，问是否存在常数，使得bnSn0对任意nN*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)证法1：an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的两根， 由an+an+1=2n，得，故数列是首项为，公比为1的等比数列. 证法2：an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的两根， ，故数列是首项为，公比为1的等比数列. (2)解：由(1)得，即， Sn=a1+ a2+ a3+ an=(2+22+23+2n)(1)+ (1)2+(1)n， 要使得bnSn0对任意nN*都成立，即对任意nN*都成立. 当n为正奇数时，由(*)式得，即，2n+110，对任意正奇数n都成立.当且仅当n=1时，有最小值1，0，对任意正奇数n都成立.当且仅当n=1时，有最小值1，0，对任意正偶数n都成立.当且仅当n=2时，有最小值1.5，0对任意nN*都成立，的取值范围是(，1).
