1、天津市红桥区2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再根据补集定义即可求出.【详解】，故选：D.2. 命题“”的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定“改量词，否结论”即可得出【详解】全称命题的否定是“改量词，否结论”，故“”的否定为“”.故选：C.3. 已知是的内角，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【
2、分析】由是的内角，得出，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：是的内角，所以，若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充要条件，涉及到三角函数公式，属于基础题.4. 已知， ，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.【详解】，所以，因此，.故选：A.5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先化简函数，再根据三角函数的图象变换，即
3、可求解【详解】由题意，函数，所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.故选：B6. 设，向量，若/，则 （ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，即得，即可求出.【详解】，即，.故选：D.7. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率8. 设随机变量
4、，则（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性得结论【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于对称，所以9. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A. 10B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】【分析】各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.【详解】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即，,故选：C10. 已知、是不重合的直线，、是不重合的
5、平面，有下列命题： 若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则. 其中真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定和性质判断中线线、线面、面面位置关系，由此可得出结论.【详解】对于，若，则、平行或异面，错误；对于，若，则、平行或相交，错误；对于，若，则或，错误；对于，若，由线面垂直的性质可得，正确；对于，若，则与平行、相交或，错误；对于，若，由面面平行的性质可得，正确；对于，若，则或，错误.故选：A.【点睛】对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置
6、关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 设为虚数单位，则复数的共轭复数_.【答案】【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以分母的共轭复数，再根据复数的乘法运算计算出结果.【详解】因为，所以，故答案为：.12. 的二项展开式中，的系数是_.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】根据二项展开式通项公式求的系数.【详解】根据二项式定理,的通项为，当时,即r=2时,可得.即项的系数为40故答案为：40【点睛】方法点晴：本题主要考查二项展开式定理的通项
7、与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13. 平面向量，中，已知，且，则向量_.【答案】【解析】【分析】设，由数量积的坐标表示列出关于的一个方程，再由模得一方程，联立后可解得，得结论【详解】设，则，解得：，即故答案为：14. 某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_种. (用数字作答)【答案】14【解析】
8、【分析】分析体育课在不在最后一节，采用分类加法计数原理以及排列思想计算出对应的排法数.【详解】当体育课在最后一节时，此时另外节课可在其余位置任意排列，故有种排法；当体育课不最后一节时，此时体育课只能在第节或第节，故有种排法，所以一共有：种排法，故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查分类加法计数原理与排列的综合应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.15. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在3次射击恰好有1次击中
9、目标的概率是_.【答案】0.096【解析】【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接求解出结果即可.【详解】根据独立重复试验的概率计算公式可知：，故答案为：.16. 如图，已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、的中点，连结并延长到点，使得，则的值为_【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，推出，再由，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，点、分别是边、的中点，所以，因此，又，是边长为的等边三角形，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5个题，共70分.解答
10、题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元. 规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(I)求顾客所获的奖励额为60元的概率；(II)求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.【答案】(I) ；(II)分布列见解析，40 .【解析】【分析】(I) 设顾客所获取的奖励额为X，即摸出一张面值50元的和从3张面值10元摸出一张，由排列组合的知识可得概率；(II) X得所有可能取值为20，60，由(I)知两个概率均为，从而可得分布列，再由期望公式计
11、算期望【详解】(I)设顾客所获取的奖励额为X，依题意，得，即顾客所获得奖励额为60元的概率为；(II)依题意得X得所有可能取值为20，60，即X的分布列为 X2060P 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）20+604018. 在中，分别为内角的对边，已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】(I) 7；(II) .【解析】【分析】(I) 由余弦定理求；(II)由正弦定理求得，再由余弦二倍角公式求得【详解】（）由余弦定理 所以； （）由正弦定理所以 所以【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，正弦定理主要解决两类问题：一是已知两角用一角对边解三角形，二是已知两边及一边
12、对角解三角形（这一类型可能出现两解，需要进行判断），余弦定理主要解决两类问题：一是已知两边及夹角解三角形，二是已知三边解三角形实质上已知两边及一角都可用余弦定理求解三角形19. 已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）求函数在上的单调递增区间和最小值.【答案】(I) ；(II) 为，.【解析】分析】（I）根据降幂公式以及辅助角公式将化简，然后根据周期计算公式求解出最小正周期；（II）采用整体替换的方法求解出在上的单调递增区间，再结合的单调性求解出.【详解】（）的最小正周期（）令所以，所以的单调递增区间为当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，所以在上的单调增区间为和，又在上，.【点睛】
13、思路点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质综合应用，属于中档题.利用三角恒等变换的公式化简的思路：对于二次的正余弦形式，先采用降幂公式变形，再利用辅助角公式进行整合；已知区间求解三角函数最值的思路：先分析单调性，必要时需要结合端点值进行分析.20. 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点.（I）证明：直线MN/平面OCD；（II）求异面直线AB与MD所成角的余弦值.【答案】(I) 证明见解析；(II) .【解析】【分析】（I）取OD的中点E，通过证明四边形MNCE是平行四边形可得MN/EC，即可证明；（II）
14、可得为异面直线AB与所成的角（或其补角），连接,求出三角形各边长，即可根据余弦定理求出.【详解】（）证明：取OD的中点E，M为OA的中点 ，N为BC的中点，四边形MNCE是平行四边形，MN/EC，MN平面OCD，EC平面OCD，MN/平面OCD.（）解：为异面直线AB与所成的角（或其补角），连接,是的中点，,平面ABCD，OAAD，,.【点睛】方法点睛：证明线面平行的方法是在平面内找一条直线与已知直线平行，常用的证明线线平行的方法是构造平行四边形或者利用三角形的中位线定理.21. 如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.
15、（I）证明：平面AMD平面CDE；（II）求二面角ACDE的余弦值.【答案】(I)证明见解析；(II) .【解析】【分析】（I）取的中点，连结，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明相互垂直，从而可证明与垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II）取的中点，连结，可得为二面角的平面角，在中求得其余弦值【详解】（）证明：取的中点，连结则，四边形FAPE是平行四边形，同理，.又平面，平面，而都在平面内，由，可得，设，则所以ECD为正三角形.且为的中点，.连结，则 PMMD=M， 而PM，MD在平面AMD内 ，平面 而平面，所以平面.（）解：取的中点，连结，为二面角的平面角.由()可得， 于是在中，二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）
