1、专题强化练9直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题 1.(2021吉林长春外国语学校高二上期中,)已知椭圆x23+y24=1的弦被点(1,1)平分,那么这条弦所在的直线方程为()A.4x+3y-7=0B.4x-3y-7=0C.3x+4y-1=0D.3x-4y-1=02.(2021天津一中高二上期中,)过椭圆9x2+25y2=225的右焦点,且倾斜角为45的弦AB的长为()A.5B.6C.9017D.73.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考,)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=()A.2B.22C.12D.2
2、4.(2020河北唐山一中高二上期中,)直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点C.若FC=2CA,则该椭圆的离心率为()A.3-1B.3-12C.22-2D.2-15.(2021江西上高二中高二上月考,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,ABF2的内切圆的面积为916,则直线AF2的方程是(深度解析)A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=0二、填空题6.()过双曲线x
3、2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线和双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 .7.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c,且c=3b,若椭圆E经过A,B两点,且AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=r2的一条直径,则直线AB的方程为.8.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学期末,)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB
4、,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点.如果直线QB的斜率与直线PB的斜率的乘积为-3,则MBN=.三、解答题9.(2021天津一中高二上期中,)已知直线x+y-1=0与椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(ab0)相交于A,B两点,且线段AB的中点M在直线l:x-2y=0上.(1)求椭圆C的离心率;(2)若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上,求椭圆C的方程.10.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点与左、右顶点连线的斜率之积为-14.(1)求椭圆C的离心率;(2)若直线y=12(x+1)与椭圆C相交于A、B两点,AOB(O为坐标原点)的面积为74,求椭
5、圆C的标准方程.11.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)如图,已知双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),两条渐近线的夹角的余弦值为35,焦点到渐近线的距离为1.M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一象限和第四象限,P是直线MN与双曲线右支的一个公共点,MP=PN.(1)求双曲线C的方程;(2)当=1时,求PMPN的取值范围;(3)试用表示MON的面积S,设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合,若5,求S的取值范围.深度解析答案全解全析一、选择题1.A设这条弦所在直线与椭圆x23+y24=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2),则x123+y12
6、4=1,x223+y224=1,由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=2,-可得8(x1-x2)+6(y1-y2)=0,kPQ=y1-y2x1-x2=-43,这条弦所在的直线方程为y-1=-43(x-1),即4x+3y-7=0.故选A.2.C由9x2+25y2=225得x225+y29=1,a2=25,b2=9,所以c2=16,故椭圆右焦点的坐标为(4,0),直线AB的方程为y=x-4,由y=x-4,x225+y29=1,得34x2-200x+175=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=10017,x1x2=17534,故|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1
7、x2=(1+1)100172-417534=9017.故选C.3.D由y2=8x知F(2,0).设直线AB的方程为x=my+2其中m=1k.由y2=8x,x=my+2,得y2-8my-16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-16,y1+y2=8m,x1+x2=my1+2+my2+2=8m2+4,x1x2=y128y228=(-16)282=4.又MA=(x1+2,y1-2),MB=(x2+2,y2-2),MAMB=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=4+16m2+8+4-16-16m+4=0,化简得4m2-4m+1=0,解得m=12,故k=1m
8、=2,故选D.4.A在x-3y+3=0中,令y=0,得x=-3,F(-3,0).令x=0,得y=1,C(0,1),设A(x1,y1),则FC=(3,1),CA=(x1,y1-1),由FC=2CA得2x1=3,2(y1-1)=1,解得x1=32,y1=32.A32,32.设椭圆的右焦点为F(3,0).由A在椭圆上,得2a=|AF|+|AF|=274+94+34+94=3+3,e=ca=2c2a=233+3=3-1,故选A.5.D如图所示,在椭圆x2a2+y2b2=1中,令x=-c,得y2=b21-c2a2=b4a2,|AB|=2|y|=2b2a=3.又ABF2内切圆的面积为916,内切圆的半径r
9、=34.又SABF2=12|AB|F1F2|=1232c=3c,SABF2=124ar=32a,3c=32a,即a=2c,b2=3c2,代入得c=1,a=2,b=3.因此A-1,32,F2(1,0),直线AF2的方程为y-0=-34(x-1),即3x+4y-3=0,故选D.解题模板用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,一般不解方程组,但当直线过圆锥曲线中心或垂直于圆锥曲线的对称轴时,可解方程组求交点坐标;解决与三角形内切圆有关的问题时,通常利用面积进行求解.二、填空题6.答案(5,10) 解析由x2a2-y2b2=1(a0,b0)得,双曲线的渐近线方程为y=bax.结合图形(图略)知,2
10、ba32ab3a4a2c2-a29a25a2c210a25e2105eb0),即x2a2+y2b2=1.(1)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由x+y-1=0,x2a2+y2b2=1得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.则=(-2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)0,即a2+b21,x1+x2=2a2a2+b2,从而y1+y2=-(x1+x2)+2=2b2a2+b2,点M的坐标为a2a2+b2,b2a2+b2.又点M在直线l上,a2a2+b2-2b2a2+b2=0,a2=2b2=2(a2-c2),即a2=2c2,e=ca=22.(2)由(1)知b
11、=c,设椭圆的右焦点F(b,0),关于直线l:y=12x的对称点为(x0,y0),由y0-0x0-b12=-1,y02=12x0+b2,解得x0=35b,y0=45b. x02+y02=4,35b2+45b2=4,于是b2=4,a2=2b2=8,显然有a2+b21.所求的椭圆的方程为x28+y24=1.10.解析(1)由题意知,椭圆上顶点的坐标为(0,b),左、右顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),ba-ba=-14,即a2=4b2,则a=2b,又a2=b2+c2,c=3b,椭圆的离心率e=ca=32.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x24b2+y2b2=1,y=12(x+
12、1),得2x2+2x+1-4b2=0,x1+x2=-1,x1x2=1-4b22,|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=52(x1+x2)2-4x1x2=528b2-1,又原点O到直线的距离d=15,12|AB|d=74,8b2-1=7,b2=1,满足=32b2-40,a2=4,椭圆C的标准方程为x24+y2=1.11.解析(1)双曲线的渐近线方程为bxay=0.设渐近线的夹角为2,由a0,b0得tan =ba,因此cos 2=cos2-sin2=1-tan21+tan2=a2-b2a2+b2=35a2=4b2.又|bc|b2+a2=1b=1a2=4,所以双曲线C的方程为x24-y2=1
13、.(2)由题意,设M(2m,m),N(2n,-n),m0,n0,当=1时,MP=PN,则Pm+n,m-n2,所以(m+n)24-(m-n)24=1,整理得mn=1.又PM=m-n,m+n2,PN=n-m,-n-m2,所以PMPN=-(m-n)2-(m+n)24=-54(m2+n2)+32mn-542mn+32=-1,当且仅当m=n=1时,等号成立,所以PMPN(-,-1.(3)同(2),设M(2m,m),N(2n,-n),m0,n0,由MP=PN得OP-OM=(ON-OP),即(1+)OP=OM+ON,则OP=11+OM+1+ON=2m+2n1+,m-n1+.所以P2m+2n1+,m-n1+.
14、把点P的坐标代入双曲线的方程得2m+2n1+24-m-n1+2=1,即(m+n)2-(m-n)2=(1+)2,所以mn=(1+)24.当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=2m.当直线MN的斜率存在时,kMN=m+n2m-2n,此时直线MN的方程为y-m=m+n2m-2n(x-2m),即(m+n)x-(2m-2n)y-4mn=0,经检验,斜率不存在时,直线方程也满足上式,所以直线MN的方程为(m+n)x-(2m-2n)y-4mn=0,所以点O到直线(m+n)x-(2m-2n)y-4mn=0的距离d=|-4mn|(m+n)2+4(m-n)2=4mn(m+n)2+4(m-n)2,又|MN|=(2m
15、-2n)2+(m+n)2=4(m-n)2+(m+n)2,所以S=12|MN|d=2mn=(1+)22=12+1+1.记双曲线的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P(x,y)(x2),则|PF1|PF2|,又|PF2|=(x-5)2+y2=x2-25x+5+14x2-1 =54x2-25x+4=52x-2=52x-2,所以|PF2|5-2,+),即双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围=5-2,+),因为5,所以55-10,+),令f(x)=12x+1x+1,x55-10,+),任取x1,x255-10,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=12x1+1x1-12x2+1x2=12(x1-x2)1-1x1x20,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在x55-10,+)上单调递增,因此f(x)min=f(55-10)=135-195,即Smin=135-195.所以S135-195,+.解题模板圆锥曲线中的有关范围问题的解法通常有以下几种:(1)函数法:用其他变量表示参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解;(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数的范围;(3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的取值范围;(4)数形结合法:研究参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解.
