1、_3.1数系的扩充和复数的概念31.1数系的扩充和复数的概念复数的概念及代数表示问题1：方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有问题2：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗提示：有解(xi)，但不在实数范围内1复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.全体复数所成的集合C叫做复数集2复数的表示复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部3复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.对复
2、数概念的理解(1)对复数zabi只有在a，bR时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.复数的分类问题1：复数zabi在什么情况下表示实数？提示：b0.问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C?提示：RC.复数的分类(1)复数abi(a，bR)(2)集合表示：10的特殊性0是实数，因此也是复数，写成abi(a，bR)的形式为00i，即其实部和虚部都是
3、0.2a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件复数相等的充要条件(1)若512ixiy(x，yR)，则x_，y_.(2)已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，i为虚数单位求实数x，y的值(1)由复数相等的充要条件可知x12，y5.(2)根据复数相等的充要条件，由(2x1)iy(3y)i，得解得即x，y4.答案：(1)125(2)x，y4.解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)已知(2x8y)(x6y)i1413i，求实
4、数x，y的值解：由复数相等的充要条件，得解得复数的分类已知mR，复数z(m22m3)i.(1)当m为何值时，z为实数？(2)当m为何值时，z为虚数？(3)当m为何值时，z为纯虚数？(1)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.设复数zlg(m22
5、m2)(m23m2)i.(1)当m为何值时，z是实数？(2)当m为何值时，z是纯虚数？解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m2或1，即当m2或1时，z是实数(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m3，即当m3时，z是纯虚数(上海高考)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.复数m2m2(m21)i是纯虚数的充要条件是解得即m2.故m2时，m2m2(m21)i是纯虚数21若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m1或m2的错误结论2复数zabi(a，bR)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可若z(x21)2(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1D1或1解析：选
6、A因为z为纯虚数，所以(x21)20.又x10，所以x1.1在2，i,0,85i，(1)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A0B1C2 D3解析：选Ci，(1)i是纯虚数；2，0，0.618是实数；85i是虚数2以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的复数是()A22i B22iCi D.i解析：选A2i的虚部为2，i2i22i，其实部为2，故所求复数为22i.3下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确命题的序号是_解析：当a1时，(a1)i0，故错误；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1
7、，故错；两个虚数不能比较大小，故对答案：4已知(3xy)(2xy)i(7x5y)3i，则实数x_，y_.解析：x，y是实数，根据两个复数相等的充要条件，可得解得答案：5已知复数z(a25a6)i(aR)，试求：(1)实数a取什么值时，z为实数？(2)实数a取什么值时，z为虚数？(3)实数a取什么值时，z为纯虚数？解：(1)当z为实数时，则当a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有即a1且a6.当a1且a6时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，则有不存在实数a使z为纯虚数一、选择题1若复数2bi(bR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A2B.C D2解析：选D复数2bi的实部为2，虚部为b，由
8、题意知2(b)，所以b2.2方程1z40在复数范围内的根共有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D由已知条件可得z41，即z21，故z11，z21，z3i，z4i，故方程有4个根3若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1 B2C1 D1或2解析：选D复数zm21(m2m2)i为实数，m2m20，解得m1或m2.4若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则()Aa1 Ba1且a2Ca1 Da2解析：选C若此复数是纯虚数，则得a1，所以当a1时，已知的复数不是纯虚数5下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则
9、aibi；若x2y20，则xy0.A0 B1C2 D3解析：选A对，由于x，yC，所以x，y不一定是xyi的实部和虚部，故是假命题；对，由于两个虚数不能比较大小，故是假命题；是假命题，如12i20，但10，i0.二、填空题6设x，yR，且满足(xy)(x2y)i(x3)(y19)i，则xy_.解析：因为x，yR，所以利用两复数相等的条件有解得所以xy1.答案：17若log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，则实数m_.解析：因为log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，所以所以m4.答案：48已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，则a的值为_解析：由z1z2，得即解得a0.答案：0三、解答题9当实数m为何值时，复数z(m22m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数10已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i，若MPP，求实数m的值解：MPP，MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.
