1、课时规范练23正弦定理和余弦定理课时规范练A册第16页基础巩固组1.(2019河北枣强中学期末)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos A=13,则a=() A.5B.7C.4D.3答案D解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=9+4-23213=9,解得a=3,故选D.2.在ABC中,已知acos A=bcos B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D解析acos A=bcos B,sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,A=B,或2A+2B=180,
2、即A+B=90,ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.(2019吉林白山期末)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bsin C,B2,则B=()A.6B.4C.3D.2答案A解析因为c=2bsin C,所以sin C=2sin Bsin C,所以sin B=12,则B=6或56.因为B2,所以B=6,故选A.4.(2019陕西渭南质量检测)在ABC中,AC=7,BC=2,B=60,则BC边上的中线AD的长为()A.1B.3C.2D.7答案D解析由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即AB2-2AB-3=0.AB=3.在ABD中,由余弦定理可得
3、AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B=7,AD=7.故选D.5.(2019吉林吉林市普通中学调研)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A-csin C=(a-b)sin B,c=4,则ABC面积的最大值为()A.23B.4C.43D.83答案C解析asin A-csin C=(a-b)sin B,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得a2=(a-b)b+c2,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12,结合0C2,0A6.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin23-AsinA=sin23cosA-cos23sin
4、AsinA=32tanA+12.0A3233+12=2,即ca(2,+).8.(2019广东茂名一模)九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75角,折断部分与地面成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米.(结果保留根号)答案52+56解析设树根部为O,折断处为A,树梢为B,则AOB=75,ABO=45,所以OAB=60,OB=10.由正弦定理知AOsin45=ABsin75=10sin60,所以OA=1063(米),AB=152+563(米),OA
5、+AB=52+56(米).9.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB边上的高为h,若c=2h,则ab+ba的取值范围是.答案2,22解析12absin C=12ch,c2=a2+b2-2abcos C,ab=chsinC,a2+b2=c2+2abcos C,ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcosCchsinC=sinCc2+2chsinCcosCch=csinC+2hcosCh=2(sin C+cos C)=22sinC+4,sinC+422,1,ab+ba2,22.10.(2019广东省韶关一模)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且3bcos A=sin
6、 A(acos C+ccos A).(1)求角A的大小;(2)若a=23,ABC的面积为534,求ABC的周长.解(1)3bcos A=sin A(acos C+ccos A),由正弦定理可得3sin Bcos A=sin A(sin Acos C+sin Ccos A)=sin Asin(A+C)=sin Asin B,即3sin Bcos A=sin Asin B,sin B0,tan A=3,A(0,),A=3.(2)A=3,a=23,ABC的面积为534,12bcsin A=34bc=534,bc=5,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即12=b2+c2-bc=(b+c
7、)2-3bc=(b+c)2-15,解得b+c=33,ABC的周长为a+b+c=23+33=53.综合提升组11.(2019河北石家庄模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2-2a(sin B+3cos B)+4=0,b=27,则ABC的面积为()A.2B.22C.3D.23答案D解析由题意知a2-2a(sin B+3cos B)+4=0,可得a2-4asinB+3+4=0,由题意知此方程有解,则=16sin2B+3-160,即sin2B+31.又因为0sin2B+31,所以sinB+3=1,即a=2,所以B+3=2,解得B=6,在ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-
8、2accos B,即(27)2=22+c2-22ccos6,整理得c2-23c-24=0,解得c=43,或c=-23(舍去),所以三角形的面积S=12acsin B=12243sin6=23,故选D.12.已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()A.(0,2)B.1,2)C.12,2D.(1,2答案B解析由题意可得a2+b2-c22abacosB+bcosAc=12,且cos C=a2+b2-c22ab,acosB+bcosAc=sinAcosB+sinBcosAsinC=sinCsinC
9、=1,据此可得cos C=12,即a2+b2-c22ab=12,a2+b2-c2=ab,据此有c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab4-3a+b22=1,当且仅当a=b=1时等号成立.三角形满足两边之和大于第三边,则cB=3,而45c=2,所以a+b+c(4,6,故选B.16.(2019江西高安期末)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,第一排和最后一排的距离为56米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为()(米/秒)A.110B.310C.12D.710答案B解析如图所示,依题意知AEC=45,ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30,由正弦定理知CEsinEAC=ACsinAEC,AC=56sin30sin 45=103(米),在RtABC中,AB=ACsin ACB=10332=15(米),国歌长度约为50秒,升旗手升旗的速度应为1550=310(米/秒).故选B.
