1、单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第12页一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2019黑龙江牡丹江期中)用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+)的过程中,从n=k到n=k+1时,右边需增加的代数式是() A.3k-1B.9kC.3k+1D.8k答案D解析用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+)的过程中,从n=k到n=k+1时,右边需增加的代数式是2(k+1)-12-(2k-1)2=8k,故选D.2.已知不等式ax2-5x+b0的解集为xx12,则不等式
2、bx2-5x+a0的解集为()A.x-13x12B.xx12C.x|-3x2D.x|x2答案C解析由题意知a0,且12,-13是方程ax2-5x+b=0的两根,-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5,bx2-5x+a=-5x2-5x+300,即x2+x-60,解得-3x1答案D解析对于A,不能保证x0.对于B,不能保证sin x=1;对于C,不能保证x2+2=1;对于D,x1,y=x+4x-1-3=x-1+4x-1-22(x-1)4x-1-2=4-2=2,当且仅当x-1=4x-1,即x=3时等号成立,故选D.5.(2019浙江绍兴一模)若实数x,y满足约束条件x-2y-2
3、0,x-y+10,y0,则z=x+y的取值范围是()A.-7,2B.-1,2C.-1,+)D.2,+)答案C解析画出实数x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0表示的平面区域.目标函数变形为-x+z=y,则z表示直线在y轴上的截距,截距越大,z越大.作出目标函数对应的直线L:y=-x,由y=0,x-y+1=0,可得A(-1,0),目标函数z=x+y线过A时,直线在y轴上的截距最小,z最小,最小值为z=-1,则目标函数z=x+y的取值范围是-1,+).故选C.6.大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到
4、哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡语文答案C解析小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中,小杨不任教语文,所以只有小蔡被分配到一中任教语文,小杨没有被分配到二中,也没有被分配到一中,所以只能被分配到三中,且任教数学,所以只能小徐被分配到二中,且任教英语,故选C.7.(2019湖南衡阳第八中学二模,7)已知x,y满足约
5、束条件x-y0,x+y2,y0,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B解析作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),则A(2,0),B(1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件;若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,综上所述,a=2,故选B.8.
6、(2019四川成都石室中学模拟,8)已知a0,实数x,y满足x1,x+y3,ya(x-3),若z=3x+y最小值为1,则a的值为()A.-1B.1C.-32D.-1或1答案B解析作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,由图像可知当直线y=-3x+z经过点C时直线y=-3x+z的截距最小,此时z最小,即3x+y=1,由x=1,3x+y=1,解得x=1,y=-2,即C(1,-2),点C也在直线y=a(x-3)上,-2=-2a,解得a=1.故选B.9.(2019江西南昌二模)设正实数x,y满足x23,y2,不等式9x2y-2+y23x-2m恒成
7、立,则m的最大值为()A.22B.42C.8D.16答案D解析设y-2=a,3x-2=b(a0,b0),9x2y-2+y23x-2=(b+2)2a+(a+2)2b8ba+8ab=8ba+ab16,当且仅当a=b=2,即x=43,y=4时取等号.故选D.10.(2019安徽六安质检)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为()A.3
8、4钱B.23钱C.12钱D.43钱答案B解析由题意,可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a1,a2,a3,a4,a5.则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列,设公差为d.a1+a2+a3+a4+a5=5,a1+a2=a3+a4+a5.整理上面两个算式,得,a1+2d=1,a1+8d=0,解得a1=43,d=-16.所以a5=a1+4d=43+4-16=23.故选B.11.已知实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2x-y-40,若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为()A.76B.1C.34D.89答案D解析实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2
9、x-y-40的可行域如图阴影部分所示.因为a0,由z=y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小,由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值为-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D.12.(2019河北衡水三模)由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造
10、岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图,下列说法错误的是()A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位答案D解析由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故D项表达错误.故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2019浙江绍兴一模)用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(
11、nN+)”,第一步应验证的等式是,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是.答案1-12=1212(k+1)-1-12(k+1)解析用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN+)”,第一步应验证不等式为1-12=12;从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是1-12+13-14+12(k+1)-1-12(k+1)-1-12+13-14+12k-1-12k=12(k+1)-1-12(k+1).故答案为1-12=12;12(k+1)-1-12(k+1)14.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6
12、610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=2解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.15.(2019山东济南历下区检测)若2a5,3b10,则t=ab的取值范围为.答案t15t53解析2a5,3b10表示的可行域如图,则t=ab的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率,显然OA的斜率是最大值,OB的斜率是最小值,由题意可知A(3,5),B(10,2).kOA=53,kOB=15,因为AB不是可行域内的点,所以t=ab的取值范围为t15t53.答案为t15t53.16.古希腊毕达哥拉斯学
13、派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.答案1 000解析由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.
