1、内蒙古集宁一中（西校区）2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合的并集运算即可得解.【详解】因为集合，所以.故选：B.【点睛】本题考查了集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2. 若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】整理可得：，问题得解【详解】因为，所以，所以，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题.3. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图中的由于这些
2、数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图中的这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A. 189B. 1024C. 1225D. 1378【答案】C【解析】试题分析：三角形数的通项公式是，正方形数的通项公式是，所以两个通项都满足的是，三角形数是，正方形数是考点：数列的通项公式4. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项【详解】解：函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以排除C,D,又因为当时，当时，所以排除B故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解
3、题方法是排除法，即通过判断函数性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案5. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小【详解】，故，所以故选A【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的
4、夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为7. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递减，则在上，在上，,又由为奇函数，则在上，在上，则的解集为的解集为；或，分析可得：或，故不等式的解集为；故选D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析与的解集，属于基础题8. 记
5、Sn为等比数列an的前n项和若a5a3=12，a6a4=24，则=（ ）A 2n1B. 221nC. 22n1D. 21n1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.9. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由对数函数的图象得出点坐标，代入直线方程得
6、的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值【详解】令，点在直线上，则，即，当且仅当，即时等号成立故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值是一道综合题，属于中档题10. 若是以O为圆心，半径为1的圆的直径，C为圆外一点，且.则（ ）A. 3B. C. 0D. 不确定，随着直径的变化而变化【答案】A【解析】【分析】将通过向量加法的三角形法则用表示出来即可.【详解】如图，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将用知道模的向量来表示，是基础题.11. 已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根
7、据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.【详解】不妨设可得令则在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，当时，当时，而，所以在区间上单调递减，则，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.12. 若函数，则函数的零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可.【详解】函数，的零点即的根，设，则，先解方程的根t，再计算的解.时得；时得.如图所示，函数的图像，方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，
8、故的零点有4个.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】本题现将不等式运用参变分离化简为，再构造新函数求最大值，最后求实数a的取值范围.【详解】解： 不等式在区间上有解， 不等式在区间上有解， 不等式在区间上有解，令，（），则， 当时，单调递减， 不等式在区间上有解，即故答案为：【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.14. 已知向量，且、三点共线，则_【答案】【解析】【分析】先求出的坐标，再
9、根据、三点共线求出的值.【详解】由题得，因为、三点共线，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与 存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围.【详解】由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，单调递增
10、，当 时，单调递减，.又当时，；当时，若于存在两个不同的交点，则.解得.故答案为：【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；16. 关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图像关于y轴对称f（x）的图
11、像关于原点对称f（x）的图像关于直线x=对称f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性的定义可判断命题的正误；取可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，则，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题（
12、本大题共6个题，共70分）17. 设函数，图象的一条对称轴是直线.（1）求；（2）画出函数在区间上的图象.【答案】（1）；（2）图象见解析.【解析】【分析】（1）因为是函数图象的对称轴，所以，即可求解的值；（2）由（1）得到疏忽的解析式，从而可完成列表，并作出图象.【详解】（1）因为是函数的图象的对称轴，所以.所以，. 因为，所以.（2）由（1）知，列表如下：描点连线，可得函数在区间上的图象如下.考点：三角函数的图象与性质；三角函数的五点法作图.18. 已知，中，角，所对的边为，.（1）求的单调递增区间；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用正余弦的倍角
13、公式化简函数式得，结合正弦型函数的单调性求的单调递增区间即可；（2）由已知条件求，由余弦定理、基本不等式、三角形三边关系有，进而可求周长的范围.【详解】（1），在上单调递增，（2），得，即，则，而，由余弦定理知：，有，所以当且仅当时等号成立，而在中，周长，【点睛】本题考查了应用三角恒等变换化简三角函数求其单调区间，利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系求周长范围.19. 已知数列的前项和为，满足，.（）求数列的前项和；（）令，求的前项和.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用累加法计算，再计算即可；（）将化简并裂项，再求和即可.【详解】（）由，得，易见，时也适合该式，.（），.【点睛】
14、本题考查了累加法求通项公式和裂项相消法求和，属于中档题.20. 设是数列的前n项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用当时，可推出数列为等比数列，即可求出通项公式；（2）化简，分为奇数，偶数，求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，两式相减得，所以，当时，则所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故（2）由（1）可得所以故当为奇数时， 当为偶数时，综上21. 已知函数.（1）求函数的最大值；（2）对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的方法判定其单调性，进而可
15、得出最大值；（2）根据（1），得到在上恒成立，令，则恒成立，结合等比数列的求和公式，求出，得出，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由得定义域为，又，由得；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；（2）由（1）知在上单调递减，所以在上恒成立；即在上恒成立，令，则恒成立，所以，；因此，则，又对任意，不等式恒成立，为整数，所以最小为.【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，考查由导数的方法研究不等式恒成立问题，属于常考题型.22. 已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】【详解】分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围详解：（1）证明：当时，函数.则，令，则，令，得.当时，当时，在单调递增，（2）解：在有两个零点方程在有两个根， 在有两个根，即函数与的图像在有两个交点，当时，在递增当时，在递增所以最小值为，当时，当时，在有两个零点时，的取值范围是点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势
