1、本章复习提升易混易错练易错点1多次利用不等式的性质导致所求代数式范围扩大1.(2020江苏苏州木渎高级中学高一期中,)已知-1a3,2b4,则2a-b的取值范围是()A.-62a-b4B.02a-b10C.-42a-b2D.-52a-b12.(2020江苏南京天印高级中学高一月考,)已知-12a+b2,3a-b0,b0,则下列不等式一定成立的是()A.1a+1b+2ab4B.(a+b)1a+1b4C.a2+b2ab a+bD.2aba+bab4.()已知x0,y0,则当x+4y+1xy取得最小值时,x-y=.5.()已知正实数a,b满足a+b=1,求a+1a2+b+1b2的最小值.易错易错点3
2、忽略二次项系数的符号致错6.(2020江苏宿迁宿豫中学高一月考,)不等式(-3x+1)(2-x)0的解集是()A.x|x2B.x|x13C.x|13x2D.x|x27.(2020北京理工大学附属中学高一期中,)已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是(-2,3),则不等式cx2-bx+a0的解集是.易错易错点4在分式不等式中忽略分母不等于0致错8.()不等式x+1(x-1)20的解集为()A.x|x-1B.x|-1x1C.x|x-1且x1D.x|x-1或x19.(2020江苏镇江第一中学高一期中,)不等式4-xx+30的解集是(易错)A.x|x-3B.x|x4C.x|-3x4D.x|x0的
3、解集是x|-4x0的解集为()A.x|-1x4B.x|-43x1C.x|x43D.x|x12.(2021山西太原师院附中、师苑中学校高一上联考,)若不等式ax2+bx+c0的解集是x|x-12,则不等式ax2-bx+c0的解集是.二、分类讨论思想在解不等式中的应用3.()设mR,关于x的不等式x2+2mx+m+20的解集为.(1)求实数m的取值范围;(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-20的解集.4.(2020江苏扬州中学高一月考,)若不等式x2-2ax+a+20的解集为M,且M1,3,求实数a的取值范围.三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用5.()已知关于x的方程x2-2x+a
4、=0.当a为何值时,(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)方程的两个根都大于0?6.()已知不等式mx2-mx-10时,不等式x2-mx+90恒成立,则实数m的取值范围是()A.m|m68.(2020北京师范大学附属实验中学高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y0的解集为x|1x0恒成立,求实数a的取值范围.答案全解全析本章复习提升易混易错练1.A因为-1a3,2b4,所以-22a6,-4-b-2,所以-2-42a-b6-2,即-62a-b4.故选A.2.解析令5a+b=(2a+b)+(a-b)=(2+)a+(-
5、)b,R,2+=5,-=1,解得=2,=1,5a+b=2(2a+b)+(a-b).-12a+b2,-22(2a+b)4.又3a-b4,12(2a+b)+(a-b)0,得(3x-1)(x-2)0,解得x2.故选D.7.答案-13,12解析不等式ax2+bx+c0的解集为(-2,3),a0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,-2+3=-ba,-23=ca,b=-a,c=-6a,其中a0.不等式cx2-bx+a0可化为-6ax2+ax+a0,即6x2-x-10,解得-13x12.所求不等式的解集为-13,12.易错警示当二次项系数是实数时,对于二次项系数是负数的不等式,要先将其化为正
6、数再求解.当二次项系数是代数式时,一般要分等于0和不等于0两种情况讨论.8.C原不等式等价于x+10,x-10,解得x-1且x1.故选C.9.D因为4-xx+30,所以x-4x+30,则(x-4)(x+3)0,x+30,解得x-3或x4.所以不等式4-xx+30的解集是x|x-3或x4.故选D.易错警示把含等号的分式不等式化为整式不等式时,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.10.答案-1,1)3,+)解析x2-x-4x-11,x2-x-4x-1-10,x2-2x-3x-10,(x-3)(x+1)x-10,(x+1)(x-3)(x-1)0,x-10,解得x3或-1x0时,ax(x+1)0且x+
7、10x(x+1)0且x+10-1x0,此时原不等式的解集为x|-1x0;当a=0时,原不等式的解集为x|x-1;当a0时,ax(x+1)0且x+10x(x+1)0且x+10x-1或x0,此时原不等式的解集为x|x0时,原不等式的解集为x|-1x0;当a=0时,原不等式的解集为x|x-1;当a0时,原不等式的解集为x|x0的解集是x|-4x1,所以x=-4和x=1是方程ax2+bx+c=0的两根,且a0可化为3a(x2-1)+a(x+3)-4a0.因为a0,所以不等式等价于3(x2-1)+x+3-40,即3x2+x-4=(x-1)(3x+4)0,解得-43x0的解集为x|-43x1.故选B.2.
8、答案x|12x0的解集是x|x-12,可得x=-2和x=-12是方程ax2+bx+c=0的两根,且a0.由不等式的解集得到相应方程的根.利用根与系数的关系列方程组,进而求解.所以-2-12=-ba,-2-12=ca,则b=52a,c=a.所以不等式ax2-bx+c0可化为ax2-52ax+a0,即2ax2-5ax+2a0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)0,解得12x2,即不等式ax2-bx+c0的解集为x|12x2.思想方法函数思想是指运用变化的观点分析讨论具体问题中的数量关系,利用函数的图象与性质解决问题.方程思想是指将问题转化为对方程的认识,通过解方程使问题得以解
9、决.本章中主要体现在以下两个方面:利用函数图象及方程的根求不等式的解集;利用函数及方程解决实际问题.3.解析(1)由题意得=4m2-4(m+2)0,即m2-m-20,解得-1m2.故实数m的取值范围为-1,2.(2)mx2+(m-2)x-20,即(mx-2)(x+1)0.对二次项系数分m=0和m0讨论.当m=0时,不等式化为-2x-20,解集为x|x-1;当m0时,对应一元二次方程的两根的大小关系不确定,需分类讨论.当0-1,此时不等式的解集为x|x-1或x2m;当-1m0时,2m-1,此时不等式的解集为x|2mx-1.综上所述,当m=0时,不等式的解集为x|x-1;当0m2时,不等式的解集为
10、x|x-1或x2m;当-1m0时,不等式的解集为x|2mx-1.4.解析方程x2-2ax+a+2=0的判别式=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2).因为M1,3,所以分M=和M两种情况讨论.当M=时,0,即-1a0,即a2,则还需满足-a+30,-5a+110,1a3,所以2a115.综上可知,实数a的取值范围是-1,115.思想方法分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一,也是高考中经常考查的数学思想.在解题中正确、合理、严谨的分类,可使一个复杂的问题得到简化,达到化繁为简,化难为易,分而治之的目的.本章中主要体现在二次项系数含参数时对二次项系数是不是0分类讨论.5.解析(1)作
11、满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,根据图列不等式,进而得出参数的取值范围.作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a0,解得a1.所以a的取值范围是a|a0,1-2+a0,4-4+a0,解得-3a0.所以a的取值范围是a|-3a0,解得0a1.所以a的取值范围是a|0a1.图36.解析(1)若m=0,则原不等式可化为-10,显然恒成立;若m0,则不等式mx2-mx-10恒成立需满足m0,=m2+4m0,解得-4m0.综上,实数m的取值范围是m|-4m0.(2)当m=0时,mx2-mx-1=-10时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,若xx|
12、1x3时不等式恒成立,则需满足m-m-1=-10,9m-3m-10的图象,数形结合列不等式组求解.解得m16,此时0m16;图1当m0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x=12,若xx|1x3时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m0符合题意.图2综上,实数m的取值范围是m|m0时,不等式x2-mx+90恒成立当x0时,不等式m0时,m0时,x+9x2x9x=6(当且仅当x=3时取“=”),所以x+9xmin=6,所以m0恒成立,即ax+4x-5对任意x0恒成立,即ax+4x-5min,x0.将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.因为x+4x2x4x=4(当且仅当x=2时,等号成立),所以x+4x-5-1,所以x+x4-5min=-1,所以a-1.思想方法转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的转化、实际问题向数学问题的转化等.本章主要体现在利用一元二次不等式的解集得到一元二次方程的根;将恒成立问题转化为最值问题.
