1、古典概型层级(一)“四基”落实练1下列试验是古典概型的是()A口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为取中白球和取中黑球B在区间1,5上任取一个实数x，使x23x20C抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶解析：选C根据古典概型的两个特征进行判断A项中两个样本点不是等可能的，B项中样本点的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征2从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 ()A.B.C. D1解析：选C从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况其中，甲被选中的情况有2种，故
2、甲被选中的概率为P.3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成如图是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系图若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为 ()A. B.C. D.解析：选A从金、木、水、火、土中任选两类，样本空间金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土，共有10个样本点，其中两类元素相生的有金水，水木，木火，火土，土金，共5个样本点，所以2类元素相生的概率为P，故选A.4同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面、二枚反面的概率等于()A. B.C. D.解析：选C试验的样本空间
3、(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种，出现一枚正面、二枚反面的样本点有3种，故概率为P.5我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337.在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是()A. B.C. D.解析：选A根据题意，不超过11的素数有2,3,5,7,11，共5个，从中任选2个，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,
4、11)，(7,11)，共10种取法其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5种，则取出的两个数和小于等于10的概率P.6从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为.答案：7.如图，在四棱锥DOABC中，底面OABC为正方形，OD底面OABC，以O为起点，
5、再从A，B，C，D四个点中任取两点分别为终点，得到两个向量，记这两个向量的数量积为M，则事件“M0”的概率为_解析：记事件A“这两个向量的数量积M0”，样本点总数n()6，其中，事件A，n(A)4，P(A).答案：8某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品分为两种情况：1听不合格和2听都不合格设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则从6听中选2听试验的样本空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,
6、6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个样本点有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为.9先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6，记骰子的点数分别为x，y，向量a(x1,1)，b(102y,2)，求两向量平行的概率解：记事件A“两向量平行”， n()6636，ab，102y2(x1)0，解得xy6，A(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,
7、3)，n(A)5，两向量平行的概率是P.层级(二)能力提升练1(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 ()A. B.C. D.解析：选B设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过该项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能其中恰有2只测
8、量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能故恰有2只测量过该指标的概率为.22019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关
9、注了此次大阅兵的概率为()A. B.C. D.解析：选C这6位外国人分别记为a，A，B，C，D，E，其中a未关注此次大阅兵，从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，样本空间(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，n()15，记事件A“被采访者都关注了此次大阅兵”，n(A)10，故被采访者都关注了此次大阅兵的概率为P.3中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数现从15这5个数
10、中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为_解析：现从15这5个数中随机选取3个不同的数，样本点总数n10，这三个数为勾股数包含的样本点有：(3,4,5)，共1个，这三个数为勾股数的概率为P.答案：4从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：重量/克80,85)85,90)90,95)95,100)频数/个5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率(2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85)和95,10
11、0)中各有1个的概率解：(1)苹果的重量在90,95)的频率为0.4.(2)重量在80,85)的有41个(3)设这4个苹果中80,85)分段的为1，95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种. “任取2个苹果，重量在80,85)和95,100)中各有1个”记为事件A，则事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，故P(A).层级(三)素养培优练1(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25)，第2组25
12、,30)，第3组30,35)，第4组35,40)，第5组40,45，得到的频率分布直方图如图所示若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是 ()A应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人B第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为C第5组志愿者被抽中的概率为D第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为解析：选ABC第3组的人数为0.06510030，第4组的人数为0.04510020，第5组的人数为0.02510010.因为第3,4,5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6
13、名志愿者，抽样比为，所以应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人故A正确记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，第5组的1名志愿者为C，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共有15个样本点第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为，故B正确第5组的志愿者恰好被抽中，所含
14、的样本点个数为5，所以第5组志愿者被抽中的概率为，故C正确第3组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为，故D不正确综上，应选A、B、C.2甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件必须中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元
