1、课时规范练53几何概型 基础巩固组1.(2019山东德州模拟,4)如图,在边长为2的正方形中,随机撒1 000粒豆子,若按3计算,估计落到阴影部分的豆子数为()A.125B.150C.175D.2002.九章算术中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是()A.215B.320C.1-215D.1-3203.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b0,6时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为()A.23B.22C.
2、12D.134.(2019山东菏泽一模拟,6)在区间-4,4上随机取一个数x,则sin 2x的值介于0到32之间的概率为()A.13B.12C.23D.345.(2019陕西咸阳三模,12)三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直,D为侧棱PA的中点,E,F分别为棱PB,PC上一点,DE平面ABC,PF=2FC,若从三棱锥P-ABC内部随机选取一点,则此点取自三棱锥P-DEF内部的概率为()A.112B.18C.16D.136.(2019安徽黄山质检,6)谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中,挖去一个“中心三角形”
3、(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的部分,黑色三角形为剩下的部分,我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图(3)内随机取一点,则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是()A.13B.14C.916D.5167.(2019安徽芜湖模拟,8)19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够像圆一样当作轮子用,并将其命名为勒洛三角形,这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心,三个圆相交的部分就是勒洛三角形,如图所示,现从图中的勒洛三角形内部随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()A.2-334-23B.233-3C.32
4、-23D.2-332-238.(2019四川成都二诊,10)在区间-,内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+有零点的概率为()A.78B.34C.12D.149.(2019重庆一中模拟,4)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为.10.(2019江西吉安一中、九江一中、新余一中等八校联考,9)“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结
5、合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角=12,现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是()A.58B.12C.34D.78综合提升组11.2018年平昌冬季奥运会于2月9日2月25日举行,为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P,某学生设计了如下的计算机模拟,通过计算机模拟在长为8,宽为5的长方形内随机取了N个点,经统计落入五环及其内部的点数为n个,圆环半径为1,则比值P的近似值为()A.32n5NB.32nNC.8nND.5n32N12.(2019江西名
6、校(临川一中、南昌二中)联考,8)如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设DF=3AF=3,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是()A.37B.217C.413D.2131313.(2019广东一模,4)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点,具体方法如下:取线段AB=2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=12AB,连接AC;以C为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D;以A为圆心,以AD为半径画弧,交AB于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上
7、随机取一点F,则使得BEAFAE的概率约为()(参考数据:52.236)A.0.236B.0.382C.0.472D.0.61814.如图,在菱形ABCD中,AB=2,ABC=60,以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率是.创新应用组15.已知向量a=(2,1),b=(x,y).(1)若x-1,0,1,2,y-1,0,1,求向量ab的概率;(2)若x-1,2,y-1,1,求向量a,b的夹角是钝角的概率.16.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给
8、所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如表:(单位:人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.附表及公式:P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+
9、c)(b+d).参考答案课时规范练53几何概型1.A由题意知圆的半径为1,则圆的面积近似为3,又正方形面积为4,则阴影部分面积为12(4-3)=12=0.5.设落到阴影部分的豆子数为n,则n1 000=124,n=125.故选A.2.C如图,直角三角形的斜边长为52+122=13,设内切圆的半径为r,则5-r+12-r=13,解得r=2,内切圆的面积为r2=4,豆子落在其内切圆外部的概率是P=1-412512=1-215,故选C.3.A圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为:x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个
10、点到直线l距离为1.所以当b(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.4.A在区间-4,4内满足0sin 2x32关系的x的范围为0,6,故概率为62=13,故选A.5.C因为DE平面ABC,DE平面PAB,平面PAB平面ABC=AB,所以DEAB,所以VP-DEFVP-ABC=121223=16,即所求概率为16.故选C.6.C由图可知:图(2)挖去的白色三角形的面积为图(1)整个黑色三角形面积的14,在图(2)中的每个小黑色三角形中再挖去的每一个白色三角形的面积仍为图(2)中每一个黑色三角形面积的14,即为图(1)大黑色三角形面积的116,所以图(
11、3)中白色三角形的面积共占图(1)黑色三角形面积的316+14=716,所以谢尔宾斯基三角形的面积为1-716=916,故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为916,故选C.7.D设圆半径为R,因为阴影部分面积为S1=36R2-34R2=2-334R2,勒洛三角形的面积为S=S1+34R2=-32R2,若从勒洛三角形内部随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为P=S1S=2-332-23.故选D.8.B函数f(x)=x2+2ax-b2+有零点,所以=4a2-4(-b2+)0,a2+b2,所以所求概率为22-()222=34,故选B.9.14由题得SABC=12ah,S矩形=a2h,SABC=S矩形.
12、所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为14.10.A设直角三角形中较小的直角边长为1,则由直角三角形中较小的锐角=12,得此直角三角形另外直角边长为2+3,斜边长6+2,则小正方形的边长为1+3,大正方形的边长为6+2,设“飞镖落在阴影部分”为事件A,由几何概型中的面积型可得P(A)=(1+3)2+121(2+3)(6+2)2=58,故选A.11.C设奥运五环所占的面积为S1,矩形的面积为S=85=40,在长方形内随机取了N个点,经统计落入五环及其内部的
13、点数为n个,根据面积比的几何概型概率公式得S1S=nN,则S1=nNS=40nN.单独五个环的面积为S3=512=5,所以奥运会所占面积与单独五个环面积和的比例为P=40nN5=8nN,故选C.12.A由题,DF=3AF=3,可得AF=BD=1,AD=4,且ADB=120,所以在三角形ADB中,cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD,解得AB=21,所以概率为P=34DF234AB2=921=37,故选A.13.A由勾股定理可得AC=52.236,由图可知BC=CD=1,AD=AE=5-11.236,BE2-1.236=0.764,则0.764AF1.236,由几何概型可得,使得BEA
14、FAE的概率约为1.236-0.7642=0.236,故选A.14.1-36在菱形ABCD中,AB=2,ABC=60,S菱形ABCD=22sin 60=23,以A和C为圆心的扇形面积和为212231=23,以B和D为圆心的扇形面积和为21231=3,菱形内空白部分的面积为.则在菱形内随机取一点,该点取自黑色部分的概率是23-23=6-36.故答案为1-36.15.解 (1)设“ab”为事件A,由ab,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本
15、事件.其中A=(0,0),(2,1),包含2个基本事件.则P(A)=212=16,即向量ab的概率为16.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得ab0,即2x+y0,且x2y.基本事件为(x,y)-1x2,-1y1所表示的区域,B=(x,y)-1x2,-1y1,2x+y5.024,所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x,y分钟,则基本事件满足的区域为5x7,6y8,(如图所示),设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为xy,由几何概型P(A)=121122=18,即乙比甲先解答完的概率为18.
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