1、单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019河南鹤壁高中模拟,8)抛物线C1:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1(0m0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x23-y2=1B.x2-y23=1C.x24-y212=1D.x212-y24=16.已知直线l:mx+y-1
2、=0(mR)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4B.25C.42D.37.(2019湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=55,则p的值等于()A.18B.14C.2D.48.(2019福建宁德质检,8)如图,点F是抛物线C:x2=4y的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且AB总是平行于y轴,则AFB周长的取值范围是()A.(3,6)B.(4,6)C
3、.(4,8)D.(6,8)9.已知O是坐标原点,双曲线x2a-y2=1(a1)与椭圆x2a+2+y2=1(a1)的一个交点为P,点Q(a+1,0),则POQ的面积为()A.a2B.aC.1D.1210.若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个11.已知双曲线C:x2a2-4y2=1(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.412.抛物
4、线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则ABCD的值为()A.34B.1C.2D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PAPB,则k的取值范围是.14.(2019河北衡水联考,14)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.15.(2019重庆西南大学附中学校模拟,15)已知抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点A,过A作直线l
5、与抛物线交于M,N两点,则|FM|2+|FN|2的取值范围为.16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:x-2y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=2,点P到直线l的距离不小于55,则椭圆离心率的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019四川攀枝花模拟,19)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey-2=0关于直线x-y=0对称,半径为2,且圆心C在第一象限.(1)求圆C的方程;(2)若直线l:3x-4y+m=0(m0)与圆C相交于不同两点M,N,且|MN|=|CM+CN|,求实数m的值.18.(14分)(201
6、9山东临沂三模,20)已知直线l过圆M:x2+(y+2)2=1的圆心且平行于x轴,曲线C上任一点P到点F(0,1)的距离比到l的距离小1.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(异于原点)作圆M的两条切线,斜率分别为k1,k2,过点P作曲线G的切线,斜率为k0,若k1,k0,k2成等差数列,求点P的坐标.19.(14分)(2019山东临沂、枣庄二模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,P为椭圆上一动点(异于左右顶点),若PF1F2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l过点F1交椭圆C于A,B两点,问在x轴上是否存在一点Q,使
7、得QAQB为定值?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.20.(14分)(2019河南鹤壁高中模拟,20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点为A1,A2,椭圆上任意一点M,满足kMA1kMA2=-12,且椭圆过点1,22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-12,y=3t+1t2(t为参数)上,线段AB的中垂线与E交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.21.(14分)(2019山东滨州二模,20)如图,已知P为抛物线y2=4x上在x轴下方的
8、一点,直线PA,PB,PC与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A,B,C,与x轴的正半轴分别相交于点L,M,N,且|LM|=|MN|=t(0t0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),可得c=2,ba=3,即b2a2=3,c2-a2a2=3,解得a=1,b=3,双曲线的焦点坐标在x轴,所得双曲线的方程为x2-y23=1,故选B.6.A由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C(2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),2m-1-1=0,m=1,点A(-2,1).AC=
9、20,CB=r=2,切线的长|AB|=20-4=4.7.C设Fp2,0,MK是点M到准线的距离,点K是垂足.由抛物线定义可得|MK|=|MF|,因为|FM|MN|=55,所以|MK|MN|=55,那么|KN|KM|=21,即直线FA的斜率是-2,所以2-00-p2=-2,解得p=2.故选C.8.B抛物线x2=4y的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,圆(y-1)2+x2=4的圆心为(0,1),与抛物线的焦点重合,且半径r=2,|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB-yA,三角形ABF的周长=2+yA+1+yB-yA=yB+3,1yB0)可得,双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为
10、y=12ax,即x2ay=0.双曲线的右顶点到渐近线的距离等于34,a1+4a2=34,解得a2=34,双曲线的方程为4x23-4y2=1,双曲线的焦点为(1,0).又抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,p=2,抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为F(1,0).如图,设点M到直线l1的距离为|MA|,到直线l2的距离为|MB|,则|MB|=|MF|,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.结合图形可得当A,M,F三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点F到直线l1的距离d=|41+6|42+32=2.故选B.12.B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0
11、),当直线l不存在斜率时,易得ABCD=1.当直线l存在斜率且不为0时,设方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得A1+2k2-2k2+1k2,2k-2k2+1k2,D1+2k2+2k2+1k2,2k+2k2+1k2,联立y=k(x-1),(x-1)2+y2=1,得(k2+1)(x-1)2=1,解得B1-1k2+1,-kk2+1,C1+1k2+1,kk2+1,则AB=-1k2+1-2k2+2k2+1k2,-kk2+1-2k+2k2+1k,CD=2k2+2k2+1k2-1k2+1,2k+2k2+1k-kk2+1,则ABCD=1.13.
12、-43,0以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程整理可得(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0.直线y=kx+1上存在点P,满足PAPB,=(2k-4)2-16(1+k2)0,整理为3k2+4k0.解得-43k0,则k的取值范围是-43,0.14.43点P关于x轴的对称点为P(-1,-2),由反射的对称性可知,直线PQ与圆相切,|PQ|+|QT|=|PT|,圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3,4),半径r=2,|AP|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,|PQ|+|QT|=|PT|=|AP|2-|AT|2=43
13、,故答案为43.15.(8,+)由题意可得A(-1,0),设直线l方程为x=my-1(m0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=4x,x=my-1,消去x得y2=4(my-1),整理得y2-4my+4=0,所以=16m2-160,解得m21,又y1+y2=4m,y1y2=4,因此x1+x2=m(y1+y2)-2=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1=1,所以|FM|2+|FN|2=(x1+1)2+(x2+1)2=(x1+x2)2-2x1x2+2(x1+x2)+2=(x1+x2+1)2-1=(4m2-1)2-1,因为m21,所以|FM|
14、2+|FN|2=(4m2-1)2-19-1=8.故答案为(8,+).16.0,32设椭圆的左焦点为F,连接AF,BF(图略),因为点A,B关于原点对称,所以|AF|+|BF|=|BF|+|AF|=2,则|AF|+|AF|+|BF|+|BF|=4,即2a=2,a=1,设P(0,b),因为点P到直线l的距离不小于55,所以|2b|555,即b12,即c=1-b232,即ca0,32,即椭圆离心率的取值范围是0,32.17.解 (1)由C:x2+y2+Dx+Ey-2=0,得圆C的圆心为C-D2,-E2,圆C关于直线x-y=0对称,D=E.圆C的半径为2,D2+E2+84=4.又圆心C在第一象限,D0
15、,E0,解得m=52+1.18.解 (1)易知直线l:y=-2,曲线C上任一动点P到点F(0,1)的距离比到l:y=-2的距离小1,点P到F(0,1)的距离等于到直线y=-1的距离,曲线C是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,设抛物线方程x2=2py,p=2,曲线C的方程为x2=4y.(2)由(1)知曲线C:x2=4y,设Px0,x024,则k0=x02,曲线C上过P点的切线方程为y-x024=x02(x-x0),即y=x02x-x024,设过点P所作圆M的两切线方程为y-x024=k1(x-x0),y-x024=k2(x-x0),即k1x-y+x024-k1x0=0,k2x-y+x024
16、-k2x0=0,又|2+x024-k1x0|1+k12=1,即(x02-1)k12-4x0+x032k1+2+x0242-1=0,(*)同理k2也适合(*)式,故k1,k2是方程x02-1k2-4x0+x032k+2+x0242-1=0的两个不相等的根,k1+k2=4x0+x032x02-1,k1,k0,k2成等差数列,k1+k2=2k0,4x0+x032x02-1=x0,解得x0=10,y0=52,点P的坐标为10,52.19.解 (1)由题意,当P在上或下顶点时,PF1F2的面积取最大值,即最大值为bc=3,又ca=12,且a2=c2+b2,解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为x24+
17、y23=1.(2)易知F1(-1,0),设直线l的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,0),联立方程组x24+y23=1,x=my-1,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,则y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,QAQB=(x1-x0,y1)(x2-x0,y2)=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+x02-x0(x1+x2)+y1y2,x1=my1-1,x2=my2-1,x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2+1-m(y1+y2)=1-15m23m2+4,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=m(y1+y2)
18、-2=6m23m2+4-2,QAQB=1-15m23m2+4+x02-6m23m2+4x0+2x0-93m2+4=x02+83m2+4x0-12m2+53m2+4=(3x02-12)m2+4x02+8x0-53m2+4,要使QAQB为定值,则3x02-123=4x02+8x0-54,解得x0=-118,所以在x轴上存在点Q-118,0,要使QAQB为定值.20.解 (1)设M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),则x02a2+y02b2=1,kMA1kMA2=-12,y0x0+ayx0-a=y02x02-a2=b2(1-x02a2)x02-a2=-b2a2=-12.椭圆过点1,22
19、,1a2+12b2=1,联立解得a=2,b=1,c=1,所求椭圆方程为x22+y2=1.(2)将直线的参数方程l:x=-12,y=3t+1t2,(t为参数)化为普通方程l:x=-12,当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为l:x=-12,此时P(-2,0),Q(2,0)与点(1,0)三点共线,不合题意;当直线AB不垂直于x轴时,设存在点N-12,m(m0),直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),由x122+y12=1,x222+y22=1,得(x1+x2)+2(y1+y2)y1-y2x1-x2=0,则-1+4km=0,故k=14m,此时,直
20、线PQ斜率为-4m,PQ的直线方程为y-m=-4mx+12,即y=-4mx-m,联立y=-4mx-m,x22+y2=1,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.所以x3+x4=-16m232m2+1,x3x4=2m2-232m2+1,由题意F2PF2Q=0,于是F2PF2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(1+16m2)x3x4+(4m2-1)(x3+x4)+1+m2=(1+16m2)(2m2-2)32m2+1-16m2(4m2-1)32m2+1+1+m2=19m2-132m2+1=0,m=1919,因为N在
21、椭圆内,m278,m=1919符合题意.综上,存在点N符合条件的坐标为N-12,1919.21.(1)证明 由y2=4x,2x-y-4=0,解得x=1或x=4,则P(1,-2).易知M(2,0),由题意可得L(2-t,0),N(2+t,0)(0t2,且t1),所以k1=21-t,k2=21+t,所以k1+k2=21-t+21+t=41-t2,k1k2=21-t21+t=41-t2.所以k1+k2=k1k2.(2)解 由(1)得,当t1时,直线PA的方程为2x+(t-1)y+2t-4=0,当t=1时,直线PA的方程为x=1,适合上式,所以直线PA的方程为2x+(t-1)y+2t-4=0.由y2=
22、4x,2x+(t-1)y+2t-4=0,消去x得y2+(2t-2)y+4t-8=0,所以-2+yA=2-2t,解得yA=4-2t,所以点A的坐标为(2-t)2,4-2t).由(1)得,直线PC的方程为2x-(t+1)y-2t-4=0,由y2=4x,2x-(t+1)y-2t-4=0,消去x得y2-(2t+2)y-4t-8=0,所以-2+yC=2+2t,解得yC=4+2t,所以点C的坐标为(2+t)2,4+2t).则点A到直线PB的距离为d1=|2(2-t)2-(4-2t)-4|5=|2t2-6t|5,点C到直线PB的距离为d2=|2(2+t)2-(4+2t)-4|5=|2t2+6t|5,所以SPABSPBC=12|PB|d112|PB|d2=d1d2=|t-3|t+3|=3-t3+t(0t2).因为0t2,所以33+t5,所以153-t3+t=63+t-11,所以SPABSPBC的取值范围是15,1.
