1、考点规范练 46 两条直线的位置关系 考点规范练 B 册第 31 页 基础巩固1.(2019 黑龙江大庆高三一模)若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则 l1与 l2间的距离为()A B C D 答案:B解析:因为 l1l2,所以 -,解得 a=-1,所以 l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,所以 l1与 l2之间的距离 d=|-|,故选 B.2.(2019 四川成都调研)已知直线 l1过点(-2,0)且倾斜角为 30,直线 l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线 l1与直线 l2的交点坐标为()A.(3,)B.(2,)C.(1,)D()答案
2、:C解析:直线 l1的斜率为 k1=tan 30=,因为直线 l2与直线 l1垂直,所以 k2=-=-,所以直线 l1的方程为 y=(x+2),直线 l2的方程为 y=-(x-2).两式联立,解得 即直线l1与直线 l2的交点坐标为(1,).故选 C.3.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)对称,则直线 l2恒过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)答案:B解析:直线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).因为直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)对称,所以直线 l2恒过定点(0,
3、2).4.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0答案:D解析:设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线 x=1 的对称点(2-x,y)在直线 x-2y+1=0 上,即 2-x-2y+1=0,化简得 x+2y-3=0.5.(2019 贵州遵义四模)在平面直角坐标系内,过定点 P 的直线 l:ax+y-1=0(a0)与过定点Q 的直线 m:x-ay+3=0 相交于点 M,则|MP|2+|MQ|2的值为()A B C.5D.10答案:D解析:由题可得 P(0,1),Q(-3,0),连接 PQ,a
4、0,-a =-1,直线 l 与直线 m 垂直,|MP|2+|MQ|2=|PQ|2.|PQ|=,|MP|2+|MQ|2=10,故选 D.6.(2019 河北廊坊省级示范高中联考)已知直线 l1:ax+by+1=0 与直线 l2:2x+y-1=0 互相垂直,且 l1经过点(-1,0),则 b=.答案:-2解析:因为 l1l2,所以 2a+b=0,又-a+1=0,所以 a=1,b=-2.7.已知点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距是 .答案:解析:由题意得线段 AB 的中点(-)在直线 y=kx+b 上,故-(-)解得 -所以直
5、线方程为 y=-x+令 y=0,即-x+=0,解得 x=,故直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距为 8.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3),求过两点 Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.解:方法一:P(2,3)是已知两条直线的交点,2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.由题意可知,a1a2,-=-故所求直线方程为 y-b1=-(x-a1),即 2x+3y-(2a1+3b1)=0,2x+3y+1=0.过 Q1,Q2两点的直线方程为 2x+3y+1=0.方法二:点 P 是已知两条直线的交点,可见 Q1(a1,b1),Q2(a2,
6、b2)都满足方程 2x+3y+1=0.过 Q1,Q2两点的直线方程为 2x+3y+1=0.9.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时,l1与 l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?解:(1)当 m=-5 时,显然 l1与 l2相交但不垂直;当 m-5 时,两条直线 l1和 l2的斜率分别为 k1=-,k2=-,它们在 y 轴上的截距分别为b1=-,b2=由 k1k2,得-,即 m-7,且 m-1.则当 m-7,且 m-1 时,l1与 l2相交.(2)由 得-解得 m=-7.则当 m=-7 时,l1与 l2平行.(3)由 k1k2
7、=-1,得(-)(-)=-1,解得 m=-则当 m=-时,l1与 l2垂直.10.已知光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程.解:作出草图,如图所示.设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A,D 关于 y 轴的对称点为 D,则易得 A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与点 C.故 BC 所在的直线方程为-,即 10 x-3y+8=0.能力提升11.三条直线 l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5
8、x-ky-15=0 构成一个三角形,则 k 的取值范围是()A.kRB.kR,且 k1,k0C.kR,且 k5,k-10D.kR,且 k5,k1答案:C解析:若有两条直线平行,或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.由 l1l3,得 k=5;由 l2l3,得 k=-5;由 x-y=0 与 x+y-2=0,得 x=1,y=1,若(1,1)在 l3上,则 k=-10.若 l1,l2,l3能构成一个三角形,则 k5 且 k-10,故选 C.12.已知点 A(3,1),在直线 y=x 和 y=0 上各找一点 M 和 N,使AMN 的周长最短,则最短周长为 .答案:2 解析:由点 A(3,1)及直线 y
9、=x,可求得点 A 关于 y=x 的对称点为点 B(1,3),同理可求得点 A关于 y=0 的对称点为点 C(3,-1),如图所示.则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|BC|,当且仅当 B,M,N,C 四点共线时,AMN 的周长最短,为|BC|=2 13.已知点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的距离相等,则 2x+4y的最小值为 .答案:4 解析:由题意得,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,则易得点 P 的轨迹方程为 x+2y=3,所以2x+4y2 =2 =4,当且仅当 x=2y=时等号成立,故 2x+4y的最小值为 4 14.已知入射光线经过点 M
10、(-3,4),被直线 l:x-y+3=0 反射,反射光线经过点 N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .答案:6x-y-6=0解析:设点 M(-3,4)关于直线 l:x-y+3=0 的对称点为 M(a,b),则反射光线所在直线过点 M,所以(-解得 又反射光线经过点 N(2,6),所以所求直线的方程为-,即 6x-y-6=0.15.已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且 l1与 l2之间的距离是 (1)求 a 的值;(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:点 P 在第一象限;点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的
11、距离的 ;点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由.解:(1)因为直线 l2:2x-y-=0,所以两条平行线 l1与 l2间的距离为 d=|-(-)|-,所以|,即|,又 a0,解得 a=3.(2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0).若点 P 满足条件,则点 P 在与 l1,l2平行的直线 l:2x-y+c=0 上,且 -|,即 c=或 c=,所以 2x0-y0+=0 或 2x0-y0+=0;若点 P 满足条件,由点到直线的距离公式,有 -,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0;因为点 P 在第一象限,所以 3x0+2=0 不可能.联立 -解得 -(舍去);联立 -解得 所以存在点 P()同时满足三个条件.高考预测16.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,且 0c ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A B C D 答案:D解析:依题意得|a-b|=-,当 0c 时,|a-b|=-1.因为两条直线间的距离等于 -,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是
