1、8.3直 线、平面平行的判定与性质最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直
2、线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)lb2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab概念方法微思考1一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面2一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平
3、行的判定定理题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)平行于同一条直线的两个平面平行()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)若，直线a，则a.()题组二教材改编2平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b答案D解析若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.3.如图
4、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_答案平行解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.题组三易错自纠4设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是()Aml1且nl2 Bm且nl2Cm且n Dm且l1答案A解析对于A，由ml1，m，l1，得l1，同理l2，又l1，l2相交，l1，l2，所以，反之不成立，所以ml1且nl2是的一个充分不
5、必要条件5若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线答案A解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.6设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)答案解析在条件或条件中，或与相交；由，条件满足；在中，a，abb，又b，从而，满足.直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1(2019四川省名校联盟模拟)如图，四边形ABCD为矩形，ED平面ABCD，AF
6、ED.求证：BF平面CDE.证明方法一四边形ABCD为矩形，ABCD，AB平面CDE，CD平面CDE，AB平面CDE；又AFED，AF平面CDE，ED平面CDE，AF平面CDE；AFABA，AB平面ABF，AF平面ABF，平面ABF平面CDE，又BF平面ABF，BF平面CDE.方法二如图，在ED上取点N，使DNAF，连接NC，NF，AFDN，且AFDN，四边形ADNF为平行四边形，ADFN，且ADFN，又四边形ABCD为矩形，ADBC且ADBC，FNBC，且FNBC，四边形BCNF为平行四边形，BFNC，BF平面CDE，NC平面CDE，BF平面CDE.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，
7、四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PAGH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以APOM.又MO平面BMD，PA平面BMD，所以PA平面BMD.又因为平面PAHG平面BMDGH，且PA平面PAHG，所以PAGH.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，aa)跟踪训练1
8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.(1)证明：EF平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB的中点，MFCB，MFCB，E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，DECB，DECB，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC.(2)解EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离PA平面ABCD，PADA，在RtPAD中，PAAD1，DP，PA平面ABCD，PACD，又CDAD且
9、PAADA，CD平面PAD，CDPD，SPCD1，连接EP，EC，VEPDCVCPDE，设E到平面PCD的距离为h，则h11，h，F到平面PDC的距离为.平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别
10、为A1B1，AB的中点，A1B1AB且A1B1AB，A1GEB，A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.同理，AD1C1D，又
11、ADC1D1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以ADD1C1，又ACA1C1，所以，所以1，即1.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化跟踪训练2(2019南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，AD的中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求三棱锥PABM的体积(1)证明M，N分别为PD，AD的中点，MNPA，又MN
12、平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB.在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60.又BAC60，CNAB.CN平面PAB，AB平面PAB，CN平面PAB.又CNMNN，CN，MN平面CMN，平面CMN平面PAB.(2)解由(1)知，平面CMN平面PAB，点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离AB1，ABC90，BAC60，BC，三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12.平行关系的综合应用例4如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的
13、取值范围(1)证明四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH.(2)解设EFx(0x4)，EFAB，FGCD，则1，FG6x.四边形EFGH为平行四边形，四边形EFGH的周长l212x.又0x4，8l12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决跟踪训练3如图所示，平面平面，点A，点C
14、，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长(1)证明当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD，知ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面DH，且线段DHAC.平面平面，平面平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGHCFFD，连接EG，FG，BH，则AEEBCFFDAGGH.GFHD，EGBH.又EG，GF平面，
15、BH，HD平面，EG平面，GF平面，又EGGFG，EG，GF平面EFG，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.(2)解如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且MEBD3，MFAC2.EMF或其补角为AC与BD所成的角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得EF，即EF或EF.1下列命题中正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，
16、a与内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b，正确2已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确3(2019合肥质检)已知a，b，c 为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是
17、()A若ab，b，则aB若a，b，ab，则C若，a，则aD若a，b，c，ab，则bc答案D解析 若ab，b，则a或a，故A不正确；若a，b，ab，则或与相交，故B不正确；若，a，则a或a，故C不正确；如图，由ab可得b，又b，c，所以bc，故D正确4(2020济南模拟)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交D以上均有可能答案B解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1.AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC.过A1B1的平面与平面ABC交于DE，DEA1B1，DEAB.5.(2019安徽省江
18、南十校检测)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点则下列叙述中正确的是()A直线BQ平面EFGB直线A1B平面EFGC平面APC平面EFGD平面A1BQ平面EFG答案B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，A1BHE，A1B平面EFG，HE平面EFG，A1B平面EFG.故选B.6(2017全国)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD
19、AB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A.7设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填序号)答案解析mn或m，n异面，故错
20、误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误8在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是_答案解析由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为(2).9.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH
21、，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.10.(2020安阳模拟)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA11.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，B1S，则AT_.答案解析设ATx，则A1T1x，由面面平行的性质可知POSR，TOQR，TSPQ，DOPB1RS，DPOD1，B1SB1R，A1SC1R，由ATOC1QR，可得 ，即 ，故C1Q，由A1TSCQP，可得 ，即 ，解得x.11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，C
22、C1，C1D1，A1A的中点求证：(1)BFHD1；(2)EG平面BB1D1D；(3)平面BDF平面B1D1H.证明(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又易证得MC1BF，BFHD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OEDC，且OEDC，又D1GDC且D1GDC，OED1G且OED1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又GE平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.(3)由(1)知BFHD1，BF平面B1D1H，HD1平面B1D1H，BF平面B1D1H，又BDB1D1，同理可得BD平面B
23、1D1H，又BDBFB，BD，BF平面BDF，平面BDF平面B1D1H.12.(2019烟台模拟)如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，BAEAFB90.(1)求证：平面BCE平面ADF；(2)若平面ABCD平面AEBF，AF1，BC2，求三棱锥ACEF的体积(1)证明四边形ABCD为矩形，BCAD，又BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90，BAFABE45，AFBE，又BE平面ADF，AF平面ADF，BE平面ADF，BC平面ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面BCE平面ADF.
24、(2)解四边形ABCD为矩形，BCAB，又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面AEBFAB，BC平面AEBF，在等腰RtABF中，AF1，AB，AEAB，SAEFAFAEsin 1351.V三棱锥ACEFV三棱锥CAEFSAEFBC2.13(2019辽宁省沈阳市高三教学质量监测)下列三个命题在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，为平面)，则此条件是_l；l；l.答案l解析lm，ml或l，由ll；l，m，lml；lm，ml或l，由ll.14.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)求证：平面A1BD平面CD1B1
25、；(2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，求证：B1D1l.证明(1)由题设知BB1DD1且BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD平面CD1B1.因为A1D1B1C1BC且A1D1B1C1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1BB，且BD，A1B平面A1BD，所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面B1D1C直线l，平面ABCD平面A1BD直线BD，
26、所以直线l直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1l.15.(2019柳州模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论错误的是()A当3时，D1P平面BDC1B当P为A1C中点时，四棱锥PAA1D1D的外接球表面为CAPPD1的最小值为D当A1P时，A1P平面D1AP答案C解析对于A，连接AB1，AD1，则1，sin 60，A1C，设A1到平面AB1D1的距离为h，则h，解得h，hA1C.当3时，P为A1C与平面AB1D1的交点平面AB1D1平面BDC1，D1P
27、平面AB1D1，D1P平面BDC1，故A正确又由以上分析可得，当A1P时，A1P即为三棱锥A1D1AP的高，A1P平面D1AP，所以D正确对于B，当P为A1C中点时，四棱锥PAA1D1D为正四棱锥，设平面AA1D1D的中心为O，四棱锥PAA1D1D的外接球半径为R，所以22R2，解得R，故四棱锥PAA1D1D的外接球表面积为，所以B正确对于C，连接AC，D1C，则RtA1ACRtA1D1C，APD1P，由等面积法得AP的最小值为，APPD1的最小值为，所以C不正确故选C.16. (2019栖霞模拟)如图，在四面体ABCD中，ABCD3，ADBD3，ACBC4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则该四边形EFGH面积的最大值为_答案解析因为直线AB平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HGAB，同理EFAB, GFCD，EHCD，所以EFHG，EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形，又ADBD3，ACBC4，取AB的中点P，连接PD，PC，则ABPD，ABPC，PDPCP，所以AB平面PCD，所以ABCD，所以FGHG，所以四边形EFGH为矩形设BFBDBGBCFGCDx,0x1，FG3x，HG3(1x)，S四边形EFGHFGHG9x(1x)9 ，当x时，有最大值.
