1、2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，若题型为解答题，则题目中等偏难.1分数指数幂(1)(a0，m，nN*，且n1)；(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sar
2、s，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数概念方法微思考1.如图所示是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为_提示cd1ab02结合指数函数yax(a0，a1)的图象和性质说明ax1(a0，a1)的解集是否与a的取值有关提示当a1时，ax1的解集为x|x0；当0a1的解集为x|x0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN*)()(2)分数指数幂可以理
3、解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则mn.()题组二教材改编2化简(x0，y0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_答案cb0，即ab1，又c01，cba.题组三易错自纠5计算：_.答案26已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式0ba；ab0；0ab；bab0时，ab可能成立当ab0时，ab可能成立当ab0时，ab显然成立当0ab.当ba0时，显然a0，b0)答案解析原式 .3若3，则_.答案解析由3，两边平方，得xx17，再平方
4、得x2x247.x2x2245.()3()3()(x1x1)3(71)18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 指数函数的图象及应用例1(1)(2019郑州模拟)定义运算ab则函数f(x)12x的图象是()答案A解析因为当x2x；当x0时，12x.则f(x)12x故选A.(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0
5、Ba0C2a2c D2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c1)的图象是()答案B解析函数ya|x|(a1)是偶函数，当x0时，yax，又已知a1，故选B.(2)若曲线y与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是_答案(0,1)解析曲线y与直线yb图象如图所示，由图象可得：如果曲线y与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1) 指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(1)已知a，b，c，则()Abac Babc C
6、bca Dca，即ab，y在(0，)上单调递增，45，即ac.bac.(2)已知0ab(1a)b B(1a)bC(1a)a(1b)b D(1a)a(1b)b答案D解析y(1a)x是减函数，(1a)a(1a)b，又yxb在(0，)上是增函数，1a1b，(1a)b(1b)b，(1a)a(1b)b.D对，其余皆错命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_答案解析当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为_答案x|x4或x2，解得x4或x0)，则yt22t(t1)21(t0
7、)当t1时，ymin1，无最大值函数f(x)4x2x1的值域为1，)若函数f(x)有最大值3，则a_.答案1解析令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练2(1)(2020蚌埠质检)已知0ab1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是()Aa
8、a Bab Cba Dbb答案C解析0a1，ab1，即aaab，同理可得，babb，又aaa，即ba最大(2)若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，yx在(，)上单调递减，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选B.(3)已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是_答案3,0)解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，所以8,1，即81，即3a0.所以
9、实数a的取值范围是3,0).1给出下列结论：当a1，nN*，n为偶数)；函数f(x)(3x7)0的定义域是x|x2且x；若5a0.3,0.7b0.8，则ab0.其中正确的是()A BC D答案B解析0，a30，故错，05a1,00.7b1，a0，abbc BbacCcba Dcab答案D解析函数y0.86x在R上是减函数，00.860.850.860.751，cab.4已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1a0时，11.当x0时，bx0时，x1.1，ab，1b0，故排除D，因此选C.6(2019安徽省马鞍山第二中学模拟)若函数yaxmn3
10、(a0且a1)的图象恒过定点(3,2)，则mn_.答案7解析函数yaxmn3(a0且a1)的图象恒过定点，令xm0，可得xm，yn2，可得函数的图象经过定点(m，n2)m3，n22，解得m3，n4，则mn7.7若函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是_答案解析若函数f(x)是R上的减函数，则解得a.8若关于x的方程|ax1|2a(a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_答案解析方程|ax1|2a(a0且a1)有两个不等实根函数y|ax1|与y2a的图象有两个交点当0a1时，如图，所以02a1，即0a1时，如图，而y2a1不符合要求综上，0a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则
11、ab_.答案解析当0a1时，函数f(x)在1,0上单调递增，由题意可得即显然无解所以ab.10当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m0，t22t30，(t1)(t3)0，0t1.2x1.x0.函数f(x)的定义域为(，0令yt22t3(t1)24(0t1)对称轴t1.函数y在(0,1上单调递减0y0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范
12、围解(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均为减函数，所以yxx在(，1上也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.13当x2,2时，ax0，且a1)，则实数a的取值范围是()A(1，) B.C.(1，) D(0,1)(1，)答案C解析x2,2时，ax0，且a1)若a1，yax是增函数，则有a22，可得a，故有1a；若0a1，yax是减函数，则有a2，故有a1.综上所述，a(1，)1
13、4函数yxx1在区间3,2上的值域是_答案解析令tx，则yt2t12，x3,2，t，当t时，ymin，当t8时，ymax57.函数的值域为.15若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，f(x)在区间m，n上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，则nm的取值范围是_答案(0,4解析因为f(1x)f(1x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，所以a1，所以f(x)2|x1|.作出函数yf(x)的图象如图所示当mn1或1mn时，离对称轴越远，m与n的差越小，由y2x1与y21x的性质知极限值为0.当m1n时，函数f(x)在区间m，
14、n上的最大值与最小值的差为f(x)maxf(x)min2|2|203，则nm取得最大值2(2)4，所以nm的取值范围是(0,416已知函数f(x)4(1x2)(1)若，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围解(1)f(x)42x2x4(1x2)设tx，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t42.所以g(t)maxg，g(t)ming.所以f(x)max，f(x)min，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.所以函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.
