1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.1函数函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数yf(x)，xA2.函数的三要素
2、(1)定义域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(2)值域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)对应关系f：AB.3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数概念方法微思考1分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？提示分段函数是一个函数2请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型3请思考以下常见函数的值域：(1)ykx
3、b(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)已知f(x)5(xR)，则f(x2)25.()(4)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()题组二教材改编2以下属于函数的有_(填序号)y；y2x1；y；yx22(xN)答案3函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有
4、唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图象是()答案C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确5函数y的定义域是_答案2，)6已知f()x1，则f(x)_.答案x21(x0)解析令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)7(2019湖北黄石一中模拟)已知函数f(x)则f(f(0)的值为_；方程f(x)1的解是_答案10或1解析f(0)1，f(f(0)f(1)1.当x0时，f(x)x11，解
5、得x0；当x0时，f(x)2x11，解得x1.第1课时函数的概念及表示法 函数的概念1下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C2下列五组函数中，表示同一函数的是_(填序号)f(x)x1与g(x)；f(x)lg x2与g(x)2lg x；f(x)x2，xR与g(x)x2，xZ；f(u)与f(v)；yf(x)与yf(x1)答案3已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的是_答案解析对于，当x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确思维升华(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何
6、一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同 求函数的解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1sin x)cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx4，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求f(x)的解析式解(1)(换元法)设1sin xt，t0,2，则sin x1t，f(1sin x)cos2x1sin2
7、x，f(t)1(1t)22tt2，t0,2即f(x)2xx2，x0,2(2)(配凑法)f22，f(x)x22，x2，)(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，解得f(x)的解析式是f(x)2x7.(4)(消去法)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，
8、此时要注意新元的取值范围(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)跟踪训练1(1)若f，则当x0，且x1时，f(x)等于()A. B. C. D.1答案B解析f(x)(x0且x1)(2)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x2解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，
9、即2axabx1，即f(x)x2x2.(3)已知f(x)满足2f(x)f3x1，求f(x)解已知2f(x)f3x1，以代替中的x(x0)，得2ff(x)1，2，得3f(x)6x1，故f(x)2x(x0) 分段函数命题点1求分段函数的函数值例2(1)已知函数f(x)若f6，则实数a的值为_，f(2)_.答案56解析由题意得，f313，所以ff(3)93a6，所以a5，f(2)4526.(2)已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log322log33，即22log323，f(2log32)f(2log321)f(3log32)，又33log320，则|log2x|，解
10、得x或x.故所求x的集合为.本例中，则使f(x)的x的集合为_答案解析当x0时，由2x得10时，由|log2x|得0x.综上，所求x的集合是.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练2(1)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_答案解析当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得2(1a)a(1a)2a，解得a，不合
11、题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得a，符合题意综上，a.(2)(2018全国改编)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是_答案(，0)解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0
12、时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)0)，f(t)lg tf(2)lg 2.5已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x1)2x2，若f(m)2，则m等于()A1 B0 C1或3 D3或1答案C解析令2x1t可得x(t1)，故f(t)2(t1)2(t1)2，故f(m)(m1)22，故m1或m3.6已知函数f(x)则f(f(3)等于()A. B. C D3答案A解析因为f(3)1log23log21时，x2，x2(舍去)xlog32.8.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，
13、且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x0)解析在f(x)3f1中，将x换成，则换成x，得f3f(x)1，将该方程代入已知方程消去f，得f(x)(x0)10(2018江苏)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_答案解析由函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)f(1)，所以f
14、(f(15)fcos .11若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(1)_.答案2解析令x1，得2f(1)f(1)4，令x1，得2f(1)f(1)2，联立得，f(1)2.12已知函数f(x)则不等式f(x)5的解集为_答案2,4解析由于f(x)当x0时，令3log2x5，即log2x2log24，解得0x4；当x0时，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x3，2x0.不等式f(x)5的解集为2,413(2019湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)若f4，则b等于()A1 B. C. D.答案D解析f3bb，当b1，即b时，f，即422，得到b2，即b；当b时，f3bb4b
15、，即4b4，得到bf(t)，则实数t的取值范围是_答案(4,4)解析f(2)4，f(4)8，不等式f(f(2)f(t)可化为f(t)8.当t0时，2t8，得4t0；当t0时，t22t8，即(t1)29，得0t4.综上所述，t的取值范围是(4,4)15已知具有性质：ff(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上，满足“倒负”变换的函数是.16根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，则c_，A_.答案6016解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4A，且30，联立解得c60，A16.
