1、3.3导数与函数的极值、最值最新考纲考情考向分析1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2.会利用导数解决实际问题(生活中的优化问题).考查函数的极值、最值，常与方程、不等式相结合命题，强化应用意识题型为解答题，难度较大.1函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值
2、与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值概念方法微思考1对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分2函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)函数的极小值一定是函数的最小值()(3)开区间上的单调连续函数无最值()题组二教
3、材改编2函数f(x)2xxln x的极值是()A. B. Ce De2答案C解析因为f(x)2(ln x1)1ln x，当f(x)0时，解得0xe；当f(x)e，所以xe时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.故选C.3当x0时，ln x，x，ex的大小关系是_答案ln xxex解析构造函数f(x)ln xx，则f(x)1，可得x1为函数f(x)在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)f(1)10，所以ln xx.同理可得xex，故ln xxex.4现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_答案a3解
4、析容积V(a2x)2x,0x，则V2(a2x)(2x)(a2x)2(a2x)(a6x)，由V0得x或x(舍去)，则x为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmaxa3.题组三易错自纠5若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.6已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_答案解析f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴
5、为x1，则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a4，故实数a的取值范围为. 用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2
6、求已知函数的极值例2已知函数f(x)x212aln x(a0)，求函数f(x)的极值解因为f(x)x212aln x(x0)，所以f(x)2x.当a0，且x2a0，所以f(x)0对x0恒成立所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值当a0时，令f(x)0，解得x1，x2(舍去)所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值所以当x时，f(x)取得极小值，且f()()212aln a1aln a无极大值综上，当a0时，函数f(x)在x处取得极小值a1aln a，无极大值命题点3已知极值点求参数例3(1)(2020江西八校联考)若函数f(x)x2
7、xaln x在(1，)上有极值点，则实数a的取值范围为_(2)若函数f(x)的导数f(x)(xk)k，k1，kZ，已知xk是函数f(x)的极大值点，则k_.答案(1)(，1)(2)1解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x1，由题意知2x2xa0在R上有两个不同的实数解，且在(1，)上有解，所以18a0，且2121a0，所以a(，1)(2)因为函数的导数为f(x)(xk)k，k1，kZ，所以若k是偶数，则xk不是极值点，则k是奇数，若k0，解得x或xk；由f(x)0，解得kx，由f(x)0，解得xk或x；由f(x)0，解得x0，当x(1，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa
8、处取得极小值；若1a0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值综上所述，a(1,0)(2)已知函数f(x)ax1ln x(aR)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数解f(x)的定义域为(0，)f(x)a，当a0时，f(x)0时，由f(x)0得0x0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值，无极大值综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点 用导数求函数的最值例4已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和
9、最小值解f(x).若k0，则在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减若0k，则f(x)，由ke，则x0在上恒成立，所以0在上恒成立，所以f(x)在上单调递减综上，当k时，f(x)在上单调递减，所以f(x)minf(e)k1，f(x)maxfek1.若本例条件中的“k”改为“k”，则函数f(x)在上的最小值是多少？解f(x)，k，0e，若0，即ke时，f(x)0在上恒成立，f(x)在上为增函数，f(x)minfek1.若e，即ke时，f(x)在上为减函数，在上为增函数，f(x)minfk1kln k.当k时，f(x)在上为减函数，无最小值综上，当ke时，f(x)mink1kln k，当ke时
10、，f(x)minek1，当k时，f(x)在上无最小值思维升华(1)若函数f(x)在闭区间a，b上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数f(x)在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪训练2(2020福州检测)已知函数g(x)aln xx2(a2)x(aR)，求g(x)在区间1，e上的最小值h(a)解g(x)的定义域为(0，)，g(x)2x(a2).
11、当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)galn a2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a)1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0.当x2时，f(x)
12、0，f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.4(2019苏锡常镇调研)f(x)exx在区间1,1上的最大值是()A1 B1Ce1 De1答案D解析f(x)ex1，令f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，则函数f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)2e2ef(1)故选D.5若函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1 Bb0 Db答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f(x)3x23b在(0,1
13、)上先负后正，f(0)3b0.b0且b1.综上，b的取值范围为0b1.6若函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围为()A2，) B4，)C4 D2,4答案C解析f(x)3ax23，当a0时，对于x1,1总有f(x)0，则f(x)在1,1上为减函数，f(x)minf(1)a20，不合题意；当0a1时，f(x)3ax233a，f(x)在1,1上为减函数，f(x)minf(1)a21时，f(x)在和上为增函数，在上为减函数，所以有f(1)a40，且f10，解得a4.综上所述，a4.7(2020信阳调研)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f(
14、2)的值为_答案18解析f(x)3x22axb，由题意得即解得或经验证a4，b11符合题意，此时f(x)x34x211x16，f(2)18.8函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)在这两个区间内单调递增，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.9已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得
15、极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.10函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_答案20解析因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上，f(x)max1，f(x)min19.由题设知在区间3,2上，f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小
16、值是20.11设函数f(x)aln xbx2，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx，x0，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)ln xx2，x0，f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得10，由f(x)0，得x.所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增所以x是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1.所以在区间(0，ea1)上，g(x)为减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为增函数当
17、ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e，即1a2时，g(x)在区间1，ea1上为减函数，在区间ea1，e上为增函数，所以g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(x)为减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a0，h(y)2y，当0y时，h(y)时，h(y)0，即函数h(y)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以h(y)minh2ln2.14当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_答案6，2解析当x0时，ax3x2
18、4x30，变为30恒成立，即aR，当x(0,1时，ax3x24x3，a，amax.设(x).(x)，当x(0,1时，(x)0，(x)在(0,1上单调递增，(x)max(1)6.a6.当x2,0)时，a，amin.同理可求得x2,0)时，min(1)2，a2，综上可得，6a2.15已知函数f(x)xln xmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)，令f(x)0，得m，设g(x)，g(x)(x0)，令h(x)ln x1，则h(x)0)，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0,1时，h(x)
19、0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，若f(x)有两个极值点，只需ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需0m，故m0.16已知f(x)axln x，当x(0，e时，是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解假设存在实数a，使得f(x)axln x(x(0，e)的最小值为3，由题意知f(x)a.当a0时，在(0，e上恒有f(x)0，函数f(x)在(0，e上单调递减，所以f(x)minf(e)ae13，即a，不满足a0，舍去当0e时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln a3，即ae2，满足条件当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，即a，不满足e，舍去综上所述，当x(0，e时，存在实数ae2，使得f(x)的最小值为3.
