1、4.6解三角形1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsi
2、n Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)3测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0能否推出sin sin ？在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?提示第一象限的角不能推出sin sin .在ABC中，由AB可推出sin Asin B.2在ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解提示图形关
3、系式absin Absin Aa0时，ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为 答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.4已知ABC的三边之比为357，则其最大的内角为 答案解析由三边之比为abc357
4、，可设a3k，b5k，c7k(k0)，C为最大内角，由余弦定理得cos C，又0C1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B0，B为钝角，故ABC为钝角三角形7设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则C .答案解析由3sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.
5、又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C. 利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C60，b，c3，则A .答案75解析由正弦定理，得sin B，所以B45或135，因为bc，所以B0，则ABC是锐角三角形B若acos Abcos B，则ABC是等腰三角形C若bcos Cccos Bb，则ABC是等腰三角形D若，则ABC是等边三角形答案ACD解析tan Atan Btan Ctan Atan Btan C0，A，B，C均为锐角，选项A正确；由acos Abcos B及正弦定理，可得sin 2Asin 2B，AB或AB
6、，ABC是等腰三角形或直角三角形，选项B错；由bcos Cccos Bb及正弦定理，可知sin Bcos Csin Ccos Bsin B，sin Asin B，AB，选项C正确；由已知和正弦定理，易知tan Atan Btan C，选项D正确(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A
7、，ABC为直角三角形本例(1)中，若将条件变为abcos C，判断ABC的形状解abcos C，sin Asin Bcos C，sin(BC)sin Bcos C，cos Bsin C0，sin C0，cos B0.B(0，)，B.ABC为直角三角形本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2三角形面积的计算例3(2019淄博模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2bc)cos Aacos
8、 C.(1)求角A；(2)若a，ABC的面积为3，求ABC的周长解(1)因为(2bc)cos Aacos C，所以(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，即2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)，由ABC，得2sin Bcos Asin B，因为sin B0，所以cos A，因为0A0.又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos ，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.思维升华(1)三角形面积计算问题要适当选用公式，
9、可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化(2)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(3)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理跟踪训练2(1)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)(2018全国)ABC的内角A，B
10、，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为 答案解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C，得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，所以cos A0，所以bc，所以SABC.(3)(2019山东平度一中质检)如图，在ABC中，D是AB边上的点，且满足AD3BD，ADACBDBC2，CD，则cos A .答案 0解析设BDx(x0)，则AD3x，AC23x，BC2x，易知cosADCcosBDC.，解得x，故AD1
11、，AC1，cos A0.一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为 km.答案解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC km.在BCD中，DBC180CDBACDACB45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30(km)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB km.A，B两点间的距离为 km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3
12、00 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为 m.答案900解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900(m)，故PQ900 m，P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.答案3030解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，s
13、in 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，所以PB30()，所以树的高度为PBsin 4530()(3030)(m)三、测量角度问题例3已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC0.5x，AC5，BAC1803822120.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船素养提升数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养
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