1、8.6椭圆1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e(0
2、,1)a，b，c的关系a2b2c23.椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率概念方法微思考1在椭圆的定义中，若2aF1F2或2aF1F2，动点P的轨迹如何？提示当2aF1F2时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()题组二教材改编2椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D12答案C解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)
3、4，m8.m4或8.3过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或.题组三易错自纠5若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5)
4、 D(5,1)(1,3)答案C解析由方程表示椭圆知解得3m0)的离心率e，则m的值为_答案3或解析若a25，b2m，则c，由，即，解得m3.若a2m，b25，则c.由，即，解得m.7设点P(x，y)在椭圆4x2y24上，则5x2y26x的最大值为_，最小值为_答案111解析由椭圆的几何性质知1x1，由y24x24，得5x2y26xx26x4(x3)25，所以当x1时，5x2y26x取得最大值11；当x1时5x2y26x取得最小值1.第1课时椭圆及其性质 椭圆的定义及其应用1(2019保定模拟)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_答案1解析
5、设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1r1，PC29r.所以PC1PC210C1C26，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.2.如图，ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_答案4解析a23，a.ABC的周长为ACABBCACCF2ABBF22a2a4a4.3设点P为椭圆C：1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且F1PF260，则PF1F2的面积为_答案解析由题意知，c.又F1PF260，F1PPF22a，F1F22，F1F(F1PPF2)22F1P
6、PF22F1PPF2cos 604a23F1PPF24a216，F1PPF2，F1PPF2sin 60.4已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则PAPF的最大值为_，最小值为_答案66解析椭圆方程化为1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，AF1，PAPFPAPF16，又AF1PAPF1AF1(当P，A，F1共线时等号成立)，PAPF6，PAPF6.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题 椭圆的标准方
7、程命题点1定义法例1(1)(2020湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若F1AB的周长为8，则椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.1答案A解析如图，由椭圆的定义可知，F1AB的周长为4a，4a8，a2，又离心率为，c1，b23，所以椭圆方程为1.(2)(2019全国)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若AF22F2B，ABBF1，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案B解析由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A，令F2B
8、m，则AF22m，BF13m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故F2AaF1A，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，因为cos 212sin2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1，故选B.命题点2待定系数法例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_答案1解析设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_答案1解析方法一(待定系数法)：设所求椭圆方程为1(kF1F2；利
9、用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式(2)椭圆的标准方程的两个应用方程1与(0)有相同的离心率与椭圆1(ab0)共焦点的椭圆系方程为1(ab0，kb20)恰当运用椭圆系方程，可使运算简便跟踪训练1(1)(2019福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1MF2，MF1MF28，则该椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析设MF1m，MF2n，MF1MF2，MF1MF28，F1F22，m2n220，mn8，(mn)236，mn2a6，a3.c，b2.椭圆的方程是1.(2)与椭
10、圆1有相同离心率且经过点(2，)的椭圆标准方程为_答案1或1解析方法一e，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(mn0)，则12.从而2，.又1，m28，n26.所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为1(mn0)，则1，且，解得m2，n2.故所求椭圆的标准方程为1.方法二若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为t(t0)，将点(2，)代入，得t2.故所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设方程为(0)代入点(2，)，得，所求椭圆的标准方程为1. 椭圆的几何性质命题点1离心率例3(1)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2
11、为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析如图，作PBx轴于点B.由题意可设F1F2PF22，则c1，由F1F2P120，可得PB，BF21，故ABa11a2，tanPAB，解得a4，所以e.(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设椭圆的方程为1(ab0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为OBa，所以OAa，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以1，所以a23b2，所以a23(a2c2)，所以3c22a2，所以椭圆的离心率e.(3)已知F
12、1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_答案解析若存在点P，则圆x2y2c2与椭圆有公共点，则F1BF290(B为短轴端点)，即bca，即b2c2，a2c2c2，a22c2，e1.命题点2与椭圆有关的范围(最值)例4(1)已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2AF2的最大值为5，则b的值是_答案解析由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，AF2BF2AB4a8，所以AB8(AF2BF2)3，当AB垂直于x轴时AB有最小值，则3.所以b23，即b.(2)设A，B是椭圆C：1长轴的
13、两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)答案A解析方法一设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1，可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A.方法二当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60
14、，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故选A.思维升华(1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：直接求出a，c，利用离心率公式e求解由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解构造a，c的齐次式离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围跟踪训练2(1)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，1e2，整理得e43e210，e2，0e1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大答案5解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2，因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
