1、练案47第六讲空间向量及其运算A组基础巩固一、单选题1(2019枣阳市第一中学月考)已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则(C)ABC，相交但不垂直D以上均不对解析因为n1n2，且n1n22(3)315(4)230，所以，不平行，也不垂直故选C.2平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若a，b，c，则下列式子中与相等的是(C)AabcB.abcCabcDabc解析cc(ba)abc.故选C.3已知向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于(B)AB2C0D或2解析abab(2m1,3，m1)(2，m，m)m2.故选B
2、.4在空间直角坐标系中，已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|PB|，则P点坐标为(C)A(3,0,0)B(0,3,0)C(0,0,3)D(0,0，3)解析设P点坐标为(0,0，a)，则由题意知14(1a)244(2a)2，解得a3，P点坐标为(0,0,3)，故选C.5已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为(D)A2BCD2解析ab(2，12，3)，由a(ab)知a(ab)2(2)(12)3(3)0，2，故选D.6已知点A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为(C)A30B45C60D90解析由已知得(0,
3、3,3)，(1,1,0)，所以cos，.所以向量与的夹角为60.故选C.7(2019西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为(C)Aa2Ba2Ca2Da2解析()()(a2cos 60a2cos 60)a2.故选C.8(2019河北模拟)如图所示，已知空间四边形OABC中，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为(A)A0BC.D解析设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，所以cos，0，故选A.二、多选题9已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下
4、列点P中，不在平面内的是(ACD)A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)解析对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50；对于选项B，(1，4，)，则n(1，4，)(3,1,2)0，验证可知C、D均不满足n0.故选A、C、D.10如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是(AB)A()22()2B.()0C向量与的夹角是60DBD1与AC所成角的余弦值为解析平行六面体的棱长均为a，则由题意知()2()2()2()22226a2，2()22()22()22(
5、)2)6a2，()22()2，A正确；()()()()2()20，B正确；，cos，与的夹角是120，C错；，记BD1与AC所成角为，则cos，D错；故选AB.11已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是(AC)A2，B，C3，D2,2解析ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，解得或故选A、C.12如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个结论中正确的是(ACD)A点P到平面QEF的距离为定值B直线PQ与平面PEF所成的角为定值C二面角PEFQ的大小为
6、定值D三棱锥PQEF的体积为定值解析点P到平面QEF的距离为点P到平面DCB1A1的距离为定值，故A正确；又SEFQ为定值，VPQEF为定值，故D正确；又二面角PEFQ即为二面角PDCB1为定值，故C正确；PQ与平面PEF所成角，即PQ与平面PDC所成角，A1B1平面PDC，Q到平面PDC的距离为定值，而PQ不是定值，PQ与平面PEF所成角的正弦值不是定值，故B错三、填空题13(2019竹溪县第二高级中学月考)如图，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于abc.(用a，b，c表示)解析因为()(bc)aabc.14已知三点A(1,2,3)，B(2,1
7、,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标为(，).解析设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上可得存在实数使得，则有Q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22).(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(3285)，根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时Q(，)四、解答题15(2019太原模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)求证：A1BC1M.解析如图，建立空间直角坐标系(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所
8、以|.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)所以(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，所以cos，.(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)，M(，2)，(1,1，2)，(，0)所以00，所以.所以A1BC1M.B组能力提升1(2018课标，9)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(C)ABCD解析以A1为原点建立空间直角坐标系(如图)，则A(0,0，)，D1(0,1,0)，D(0,1，)，B1(1,0,0)，所以(0,1，)，(1，1，)，所以cos，则异面直线AD1与DB1所
9、成角的余弦值为|cos，|，故选C.2直三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为(C)ABCD解析以BC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC2，则B(1,0,0)，则C1(1,0,2)，故(2,0,2)又B1(1,0,2)，A(0，0)，(1，2)，则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为cos，故选C.3(2019广东汕头模拟)如图，三棱锥DABC中，ABACDBDC1，BC，平面DBC平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为(A)ABCD0解析取BC的中点O，连接DO，AO，BDDC，DOBC，又平面DBC平面ABC，DO平面ABC，从而DOOA，又ABAC，AOBC，如图建立空间直角坐标系，则(，)，(，0，)，则cos，异面直线CM与BN所成角的余弦值为.选A.4(2019江苏启东中学期中)已知向量a(2，1,2)，b(1,3，3)，c(13,6，)，若向量a，b，c共面，则_3_.解析由题意可知cmanb，(m，nR)解得.5(2019北京西城区模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是_0,1_.解析由题意：设，其中0,1，()()22()(1)210,1因此的取值范围是0,1