1、1.5一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1 x0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？提示 ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围2一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立的条件是ax2bxc0恒成立的条件是题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式
2、ax2bxc0的解集为R.()(3)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(4)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0，则RA等于()Ax|2x3Bx|2x3Cx|x3Dx|x2或x3答案B解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.题组三易错自纠4(多选)关于x的不等式(ax1)(x2a1)0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为()A B1 C1 D2答案AC解析由题意知a0，即(x2)(x2)0，解得2x0，即(x1)(x3)0，解得1x0的解集为_(用区间表示)答案(4,1
3、)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集是，则ab_.答案14解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.7不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案(2,2解析当a20时，由得2a2；当a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.即实数a的取值范围是(2,2. 一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1(2019济宁模拟)已知全集UR，集合Ax|x23x20，则RA等于()A(1,2) B1,2C(，12，) D(，1)(2，)答案A解析由题意可得，RAx|x23x20x|1x2，表示为区间形式即(1,2)故选A.命
4、题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解得x1；当a1时，解集为；当0a1时，解得1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类(2)根据判别式与0的关系判断根的个数(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练1(1)(2020北京市海淀区期末)不等式x22x30的解集为()Ax|x1 Bx|x3Cx|1x3 Dx|3x1答案D解析由x22x30得(x3)(x1)0，解得3x0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_答案x|x3或x
5、2解析由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且aa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为. 一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f (x)mx2mx1.若对于xR，f (x)0恒成立，求实数m的取值范围解当m0时，f (x)10恒成立当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f (x)mx2mx1.若对于x1,3，f (x)5m恒成立，求
6、实数m的取值范围解要使f (x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.若将“f (x)5m恒成立”改为“f (x)5m无解”，如何求m的取值范围？解若f (x)5m无解，即f (x)5m恒成立，即m恒成立，又x1,3时，max6，得m6，即m的取值范围为6，)若将“f (x)5m恒成立”改为“
7、存在x，使f (x)5m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f (x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6)命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练2函数f (x)x2ax3.(1)若当xR时，f (x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x2,2时，f (x)a恒成立，求实
8、数a的取值范围；(3)若当a4,6时，f (x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，实数a的取值范围是6,2(2)由题意可转化为x2ax3a0在x2,2上恒成立，则(x2ax3a)min0(x2,2)令g(x)x2ax3a，x2,2，函数图象的对称轴方程为x.当4时，g(x)ming(2)73a0，解得a，舍去；当22，即4a4时，g(x)minga30，解得6a2，4a2；当2，即a4时，g(x)ming(2)7a0，解得a7，7a0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2，相应的二次函数为f (x)ax2bx
9、c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x10，x20，x20)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x100)得出的结论f (0)0大致图象(a0综合结论(不讨论a)af (0)0表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1k，x2k，x2k一个根小于k，一个根大于k即x1k0)得出的结论f (k)0大致图象(a0综合结论(不讨论a)af (k)0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种
10、情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，mnp0)得出的结论f (m)f (n)0或大致图象(a0)得出的结论f (m)f (n)0或综合结论(不讨论a)f (m)f (n)0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a0时，(2)a0时，对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：()若f (m)0或f (n)0，则此时f (m)f (n)0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值如方程mx2
11、(m2)x20在区间(1,3)上有一根，因为f (1)0，所以mx2(m2)x2(x1)(mx2)，另一根为，由13得m2即为所求；()方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数如方程x24mx2m60有且只有一根在区间(3,0)内，求m的取值范围分析：由f (3)f (0)0即(14m15)(m3)0得出3m；由0即16m24(2m6)0得出m1或m，当m1时，根x2(3,0)，即m1满足题意；当m时，根x3(3,0)，故m不满足题意综上分析，得出3m或m1.例1已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有一正根和一负根，求实数m的取值范围解设f (x)(2m1)x22mx(m1)，由(2m1)f (0)0 ，即(2m1)(m1)0，解得m1，即m的取值范围为.例2已知方程2x2(m1)xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围解设f (x)2x2(m1)xm，由 0m32，即m的取值范围为(0,32)(32，)例3已知二次函数f (x)(m2)x2(2m4)x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围解由(m2)f (1)0 ，即(m2)(2m1)0 2m，即m的取值范围为.
