1、第九章直线和圆的方程第一讲直线方程与两直线的位置关系 1.2020山东青岛模拟已知直线l经过直线l1:x+y=2,l2:2x - y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=( - 3,2),则直线l的方程是()A.3x - 2y - 1=0B.3x - 2y+1=0C.2x+3y - 5=0D.2x - 3y+1=02.2020浙江台州五校联考已知直线l过点P(1,1)且与以A(0, - 1),B(3, - 4)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为()A.( - , - 52 B.2,+) C. - 52,12 D.( - , - 522,+)3.2020河南郑州模拟数学家欧拉在1765
2、年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点B( - 1,0),C(0,2),AB=AC,则ABC的欧拉线方程为()A.2x - 4y - 3=0B.2x+4y+3=0C.4x - 2y - 3=0D.2x+4y - 3=04.2016四川高考设直线l1,l2分别是函数f (x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的
3、面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+) D.(1,+)5.2020四川五校高三联考过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y - 5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,APB=()A.30B.45C.60D.906.2020贵州遵义四中模拟过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.7.双空题已知直线 l :(+2)x+(-)y-4-8=0交O :x2+y2=25于A,B两点,C为l外一动点,且|AC|=2|BC|,则|AB|的最小值为;当|AB|取最小值时,ABC面积的最大值为.8.2017全国卷设A
4、,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.考法1 求直线的方程1(1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为. (2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图9 - 1 - 1所示,当ABO的面积取最小值时直线l的方程为.(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a.若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).则直线的方程为y=43x,即4x - 3y=0. 若a0,设所求直线的方程为xa+ya=1,又点(3,4)在直
5、线上,所以3a+4a=1,所以a=7.所以直线的方程为x+y - 7=0.综上可知所求直线的方程为4x - 3y=0或x+y - 7=0.(2)解法一设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为xa+yb=1.(截距式)因为l过点P(3,2),所以3a+2b=1.因为1=3a+2b26ab,整理得ab24,所以SABO=12ab12.当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时取等号.此时直线l的方程是x6+y4=1,即2x+3y - 12=0.解法二依题意知,直线l的斜率k存在且k0,可设直线l的方程为y - 2=k(x - 3)(k0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的
6、最小值是.考法4 对称问题4已知直线l:2x - 3y+1=0,点A( - 1, - 2).求:(1)点A关于直线l的对称点A 的坐标;(2)直线m:3x - 2y - 6=0关于直线l的对称直线m 的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l 的方程.(1)设A (x,y),由对称性求出A 的坐标.(2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M 的坐标,结合两直线的交点,可求出m 的方程.(3)思路一在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P,N关于点A的对称点P,N,可得直线l的方程.思路二在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q,将其
7、坐标代入直线l的方程,可得直线l的方程.(1)设A (x,y),则y+2x+123=-1,2x-12-3y-22+1=0,解得x=-3313,y=413,即A ( - 3313,413).(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上.设M关于直线l的对称点为M (a,b),则2a+22-3b+02+1=0,b-0a-223=-1,解得a=613,b=3013,即M (613,3013).设m与l的交点为N,则由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0得N(4,3).又m 经过点N(4,3),所以由两点式得直线m 的方程为9x - 46y+102=0.(3)解
8、法一在l:2x - 3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P ,N 均在直线l 上.易知P ( - 3, - 5),N ( - 6, - 7),由两点式可得l 的方程为2x - 3y - 9=0.解法二设Q(x,y)为l 上任意一点,则Q(x,y)关于点A( - 1, - 2)的对称点为Q ( - 2 - x, - 4 - y),因为点Q 在直线l上,所以2( - 2 - x) - 3( - 4 - y)+1=0,即2x - 3y - 9=0.4.2019豫南九校第四次联考已知ABC的一个顶点A(2, - 4),且B,C的平分线所在直线的方程分别为x+y
9、 - 2=0,x - 3y - 6=0,则BC所在直线的方程为.易错 忽略斜率不存在致误5 2019河南省中原名校第三次联考设圆x2+y2 - 2x - 2y - 2=0的圆心为C,直线l过点(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2 3,则直线l的方程为A.3x+4y - 12=0或4x - 3y+9=0B.3x - 4y+12=0或4x+3y+9=0C.4x - 3y+9=0或x=0D.3x+4y - 12=0或x=0条件与目标条件:圆的方程;直线过定点;直线被圆截得的弦长.目标:求符合条件的直线的方程.思路与方法思路:求解过定点的直线的方程,分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论
10、.方法:待定系数法.过程与关键过程:先讨论直线的斜率不存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率的值.关键:当直线的斜率不存在时,易知l:x=0,与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,检验|AB|是否符合.当直线的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,与圆的方程联立,利用d2=r2 - (|AB|2)2求得直线l的斜率.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,由x=0,x2+y2-2x-2y-2=0解得x=0,y=1-3或x=0,y=1+3,所以|AB|=23,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,由已知可得圆的标准方程为(x - 1)2+(y - 1)2=
11、4,其圆心为C(1,1),半径r=2,所以圆心C到直线kx - y+3=0的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1.因为d 2=r 2 - (|AB|2)2,所以(k+2)2k2+1=4 - (232)2,即(k+2)2=k2+1,解得k= - 34,所以直线l的方程为y= - 34x+3,即3x+4y - 12=0.综上,满足题意的直线l的方程为x=0或3x+4y - 12=0.故选D.D5.2019惠州市高三调研过点A(3,5)作圆O:x2+y2 - 2x - 4y+1=0的切线,则切线的方程为 .1.C解方程组x+y=2,2x- y=1,得x=1,y=1,即直线l1,l2的交
12、点为(1,1).因为直线l的一个方向向量v=(- 3,2),所以直线l的斜率k=- 23,则直线l的方程为y- 1=- 23(x- 1),即2x+3y- 5=0.故选C.2.D直线AP的斜率k1=1+11- 0=2,直线BP的斜率k2=1+41- 3=- 52.设直线l与线段AB交于点M,当直线l的倾斜角为锐角时,随着M从点A向点B移动的过程中,l的倾斜角变大,l的斜率也变大,此时l的斜率k2;当直线l的倾斜角为钝角时,随着l的倾斜角变大,l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率,此时l的斜率k- 52;直线PM平行于y轴时,斜率不存在.综上所述,直线l的斜率的取值范围为(- ,- 522,+).
13、故选D.3.D易知线段BC的中点坐标为(- 12,1),线段BC所在直线的斜率kBC=2- 00- (- 1)=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y- 1=- 12(x+12),即2x+4y- 3=0.因为AB=AC,所以ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,即ABC的欧拉线方程为2x+4y- 3=0.故选D.4.A不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2,- ln x2),P(xP,yP),由于l1l2,所以1x1(- 1x2)=- 1,则x1=1x2.又切线l1:y- ln x1=1x1(x- x1),l2:y+ln x2=- 1x2(x- x2),于是A(0,ln x1-
14、 1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由y- ln x1=1x1(x- x1),y+ln x2=- 1x2(x- x2),解得xP=2x1+1x1,所以SPAB=122xP=2x1+1x1,因为x11,所以x1+1x12,所以SPAB的取值范围是(0,1),故选A.5.C解法一如图D 9- 1- 1,设圆(x+1)2+(y- 5)2=2的圆心为C,则C(- 1,5),则点C不在直线y=- x上,要满足l1,l2关于直线y=- x对称,则PC必然垂直于直线y=- x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y- 5=x+1,即y=x+6,与y=- x联立,得P
15、(- 3,3).所以|PC|=(- 1+3)2+(5- 3)2=22,设APC=,则APB=2,在APC中,sin =|AC|PC|=222=12,故=30,所以APB=2=60.故选C.图D 9- 1- 1解法二如图D 9- 1- 1,设圆(x+1)2+(y- 5)2=2的圆心为C,则C(- 1,5),则点C不在直线y=- x上,要满足l1,l2关于直线y=- x对称,则PC必然垂直于直线y=- x,所以|PC|=412+12=22,易知圆的半径r=2,sinAPC=|AC|PC|=12,则APC=30,所以APB=60.故选C.6.3x- 2y=0或x- y+1=0 当直线过原点时,直线的
16、斜率为k=3- 02- 0=32,此时直线方程为y=32x,即3x- 2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa+y- a=1,把(2,3)代入可得a=- 1,此时直线方程为x- y+1=0.故填3x- 2y=0或x- y+1=0.7.612由(+2)x+(- )y- 4- 8=0,得(x+y- 4)+(2x- y- 8)=0,则x+y- 4=0,2x- y- 8=0,解得x=4,y=0,所以直线(+2)x+(- )y- 4- 8=0经过定点M(4,0),若|AB|取最小值,则OMAB,此时|AB|=252- 42=6.解法一设A(4,3),B(4,- 3),C(x,y),由|AC|=2|B
17、C|,可得(x- 4)2+(y- 3)2=2(x- 4)2+(y+3)2,化简得点C的轨迹方程为(x- 4)2+(y+5)2=16,则点C的轨迹是圆心为(4,- 5),半径为4的圆,易知圆心(4,- 5)在直线AB上,因而C点到直线AB的最大距离为4,故ABC面积的最大值为1264=12.解法二设|BC|=x,则|AC|=2x,在ABC中,由余弦定理知36=x2+(2x)2- 2x2xcosACB,得x2=365- 4cosACB,从而SABC=12x2xsinACB=36sinACB5- 4cosACB=- 90- sinACB54- cosACB,其中0- sinACB54- cosACB
18、可以看成单位圆上的点(cosACB,sinACB)与点(54,0)的连线所在直线的斜率,易知当过点(54,0)的直线与单位圆在第一象限相切时,斜率取得最小值,可求得斜率的最小值为- 43,所以ABC面积的最大值为- 9(- 43)=12.8.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1- y2x1- x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y =x2.设M(x3,y3),由题设及(1)知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|
19、=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2- 4x- 4m=0.=16(m+1)0,则m- 1,解得x1=2+2m+1,x2=2- 2m+1.从而|AB|=2|x1- x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.1.(1)当直线l在x轴,y轴上的截距均为0时,直线l的斜率为k=12,所以直线l的方程为y=12x,化为一般方程为x- 2y=0.当直线l在x轴,y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为xt+yt=1,将(2,1)代入,得2t+1t=1,解得t=3,此时直线l的一般方程为x+y- 3=0.综上,
20、直线l的一般方程为x- 2y=0或x+y- 3=0.(2)由题意得,直线l的方程为x+y- 3=0,则a+b=3.所以3a+3b23a3b=23a+b=63,当且仅当a=b=32时等号成立.所以3a+3b的最小值为63.2.(1)解法一直线l的方程可化为y=- 34x+3,可知l的斜率为- 34,因为l与l平行,所以直线l的斜率为- 34.又l过点(- 1,3),所以由点斜式得直线l的方程为y- 3=- 34(x+1),即3x+4y- 9=0.解法二由l与l平行,可设l的方程为3x+4y+m=0(m- 12),将(- 1,3)代入,得m=- 9,于是所求直线方程为3x+4y- 9=0.(2)解
21、法一直线l的方程可化为y=- 34x+3,可知l的斜率为- 34,因为l与l垂直,所以直线l的斜率为43.又l过点(- 1,3),所以由点斜式得直线方程为y- 3=43(x+1),即4x- 3y+13=0.解法二由l与l垂直,可设l的方程为4x- 3y+n=0,将(- 1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x- 3y+13=0.(3)解法一直线l的方程可化为y=- 34x+3,可知l的斜率为- 34,因为ll,所以直线l的斜率为43.设l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=43x+b,l在x轴上的截距为- 34b,由题意可知,l与两坐标轴围成的三角形的面积S=12|b|- 34b|
22、=4,解得b=463.所以直线l的方程为y=43x+463或y=43x- 463,即4x- 3y+46=0或4x- 3y- 46=0.解法二由l与l垂直,可设直线l的方程为4x- 3y+p=0,则l在x轴上的截距为- p4,在y轴上的截距为p3.由题意可知,l与两坐标轴围成的三角形的面积S=12|p3|- p4|=4,求得p=46.所以直线l的方程为4x- 3y+46=0或4x- 3y- 46=0.3.(1)C 过点C作直线l,使lAB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22- 12=3.直线AB的方程可化为3x+3y- 3=
23、0,由ABP和ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+312- 3|(3)2+32=3,解得m=- 332或m=532.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.(2)4 解法一 设P(x,x+4x),x0,则点P到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x|2=2x+4x222x4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二 由y=x+4x(x0)得y=1- 4x2,令1- 4x2=- 1,得x=2,则当点P的坐标为(2,32)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|2=4.4.x+7y-
24、 6=0 由角平分线的性质知,点A关于B,C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上.设点A(2,- 4)关于直线x- 3y- 6=0的对称点为A1(x1,y1),则有y1+4x1- 2=- 3,x1+22- 3y1- 42- 6=0,解得x1=25,y1=45,即A1(25,45).同理可得,点A(2,- 4)关于直线x+y- 2=0的对称点A2的坐标为(6,0).所以直线A1A2的方程为y=0- 456- 25(x- 6),即x+7y- 6=0.所以BC所在直线的方程为x+7y- 6=0.5.5x- 12y+45=0或x- 3=0圆O的标准方程为(x- 1)2+(y- 2)2=4,其圆心为(1,2).|OA|=(3- 1)2+(5- 2)2=132,点A(3,5)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为x- 3=0;当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y- 5=k(x- 3),即kx- y+5- 3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d=|3- 2k|k2+1=2,即|3- 2k|=2k2+1,k=512,即切线方程为5x- 12y+45=0.综上可知,所求切线的方程为5x- 12y+45=0或x- 3=0.
