1、吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一数学下学期暑假综合复习试题（二）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A B C D2抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A至多有2件次品 B至多有1件次品 C至多有2件正品 D至少有2件正品3若(xi)iy2i，x，yR，则复数xyi()A2i B2i C12i D12i4已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c
2、满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B C. D5已知直线l，m，平面，下列命题正确的是()Aml，lm Bl，m，l，mClm，l，m Dl，m，l，m，lmM6甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A30人，30人，30人 B30人，45人，15人C20人，30人，10人 D30人，50人，10人7已知非零向量与满足0，且，则ABC为()A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形8用与球心距离为1的平面去截球，所得
3、截面圆的面积为，则球的表面积为()A B C8 D9如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把ABC折起来，则下列结论不正确的是()A在折起的过程中始终有AD平面DBCB三棱锥ADBC的体积的最大值为C当BDC60时，点A到BC的距离为D当BDC90时，点C到平面ADB的距离为110.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是()A甲得9张，乙得
4、3张 B甲得6张，乙得6张C甲得8张，乙得4张 D甲得10张，乙得2张11.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A1 B C D212.若平面向量、两两的夹角相等，且，则（ ）A B C或 D或二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分
5、的概率是_.14已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_.15若复数z满足|zi| (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_.16在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于_.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设关于x的方程是x2(tani)x(2i)0，(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明对任意k(kZ)，方程无纯虚数根18
6、(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC).(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求向量在上的投影向量的长度19 (本小题满分12分)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如下图所示(1)填写下表：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：从平均数和方差结合分析偏离程度；从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些；从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力20(本小题满分12分)如图，P
7、D平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PDDC2，BC2.(1)求PB与平面ADC所成的角的大小；(2)求异面直线PC，BD所成角正弦值21(本小题满分12分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率22(本小题满分12分)如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面
8、角BPAC的余弦值. 20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（二）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A B C D答案B解析显然正确中当m0时，对于任意两向量a，b，mamb都成立，但不一定有ab，故错误中当a0时，不成立故选B.2抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A至多有2件次品 B至多有1件次品C至多有2件正品 D至少有2件正品答案B解析至少有2件次
9、品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品3若(xi)iy2i，x，yR，则复数xyi()A2i B2iC12i D12i答案B解析(xi)iy2i即xi1y2i，故y1，x2，所以复数xyi2i.4已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. BC. D答案D解析设c(x，y)，则ca(1x,2y)，ab(3，1)，由已知可得解得即c.5已知直线l，m，平面，下列命题正确的是()Aml，lmBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lmM答案D解析A中，m可能在内，也可能与
10、平行；B中，与可能相交，也可能平行；C中，与可能相交，也可能平行；D中，平面内的两条相交直线l，m分别与平面平行，依据面面平行的判定定理可知.故选D.6甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A30人，30人，30人 B30人，45人，15人C20人，30人，10人 D30人，50人，10人答案B解析先求抽样比，再各层按抽样比分别抽取，则甲校抽取360030(人)，乙校抽取540045(人)，丙校抽取180015(人)，故选B.7已知非零向量与满足0，且，则
11、ABC为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形答案D解析0，A的平分线所在的向量与垂直，所以ABC为等腰三角形又，cosA，A.故ABC为等边三角形8用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A B C8 D答案C解析设球的半径为R，则截面圆的半径为，截面圆的面积为S()2(R21)，R22，球的表面积S4R28.9如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把ABC折起来，则下列结论不正确的是()A在折起的过程中始终有AD平面DBCB三棱锥ADBC的体积的最大值为C当BDC60时，点A到BC的距离为D当BDC90时，点C
12、到平面ADB的距离为1答案D解析因为ADDC，ADDB，且DCDBD，所以AD平面DBC，故A正确；当DBDC时，DBC的面积最大，此时三棱锥ADBC的体积也最大，最大值为，故B正确；当BDC60时，DBC是等边三角形，设BC的中点为E，连接AE，DE，则AEBC，即AE为点A到BC的距离，AE ，故C正确；当BDC90时，CDDB，CDAD，故CD平面ADB，则CD就是点C到平面ADB的距离，CD，故D不正确10.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积2分，乙
13、积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是()A甲得9张，乙得3张 B甲得6张，乙得6张C甲得8张，乙得4张 D甲得10张，乙得2张答案A解析由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以继续游戏甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为129(张)，乙得到的游戏牌为123(张)，故选A11.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A1 B C D2答案A解析如图，连接AC交BD于点O.在CC1A中，易证OEAC1.又OE平面BDE
14、，AC1平面BDE，AC1平面BDE，直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离连接AE.在三棱锥EABD中，VEABDSABDEC22.在三棱锥ABDE中，BD2，BE，DE，SEBD22.设点A到平面BED的距离为h，则VABDESEBDh2hh，解得h1，故选A.12.若平面向量、两两的夹角相等，且，则（ ）ABC或D或【答案】D【解析】分两种情况讨论：（1）三个向量、的夹角均为；（2）三个向量、的夹角均为.利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.分以下两种情况讨论：（1）三个向量、的夹角均为，则；（2）三个向量、的夹角均为，则，所以，.综上所述，或.故选：D.二填空题(本题共
15、4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_.答案0.46解析设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.6，P(A3)0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件(A1A2A3)(A12A3)(1A2A3)发生，故所求概率为PP(A1A2A3)(A1
16、2A3)(1A2A3)P(A1A2A3)P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46.14已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_.答案8解析ab，2(2)(1)x0，解得x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，解得y4，(yx，xy)(8,8)，|8.15若复数z满足|zi| (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应
17、的图形的面积为_.答案2解析设zxyi(x，yR)，则由|zi| 可得 ，即x2(y1)22，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.16在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于_.答案15解析如图，由题意知CABC30，DACD10，设AEh，则所以30sin210sin420sin2cos2，所以2cos2，cos2，所以230，15.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设关于
18、x的方程是x2(tani)x(2i)0，(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明对任意k(kZ)，方程无纯虚数根解(1)设实数根是a，则a2(tani)a(2i)0，即a2atan2(a1)i0.a，tanR，a1，且tan1.又0，.(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为xbi(bR，b0)，则(bi)2(tani)bi(2i)0，即此方程组无实数解所以对任意k(kZ)，方程无纯虚数根18(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC).(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求向量在上的投影向量的长度解(1)由
19、cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cosBsin(AB)sinB，则cos(ABB)，即cosA.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在上的投影向量的长度为|cosB.19(本小题满分12分)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如下图所示(1)填写下表：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：从平均数和方差结合分析偏离程度；从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些；从折线图上两
20、人射击命中环数及走势分析谁更有潜力解(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙(24687789910)7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.271乙75.47.53(2)甲、乙的平均数相同，均为7，但ss，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大甲比乙稳定些甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的射靶成绩比甲好些甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环
21、及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力20(本小题满分12分)如图，PD平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PDDC2，BC2.(1)求PB与平面ADC所成的角的大小；(2)求异面直线PC，BD所成角正弦值解(1)因为PD平面ABCD，所以PBD即为PB与平面ADC所成的角因为四边形ABCD是矩形，所以BCDC，所以BD2，tanPBD，所以PBD30，即PB与平面ADC所成的角的大小为30.(2)取PA的中点G，连接OG，DG，如图显然OGPC，所以DOG(或其补角)即为异面直线PC，BD所成
22、的角因为OGPC，ODBD，DGPA，所以OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sinDOG，所以异面直线PC，BD所成角的正弦值为.21(本小题满分12分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率解设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i1,2,3,4)，则P(A1)0.6，P(A2)0.4，P(A3)0.5，P(A4)0.2.(1)解法一：
23、该选手被淘汰的概率为PP(1A12A1A23A1A2A34)P(1)P(A1)P(2)P(A1)P(A2)P(3)P(A1)P(A2)P(A3)P(4)0.40.60.60.60.40.50.60.40.50.80.976.解法二：P1P(A1A2A3A4)1P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)10.60.40.50.210.0240.976.(2)解法一：所求概率PP(A12A1A23A1A2A34)P(A1)P(2)P(A1)P(A2)P(3)P(A1)P(A2)P(A3)P(4)0.60.60.60.40.50.60.40.50.80.576.解法二：所求概率P1P(1)P(A1A2
24、A3A4)1(10.6)0.60.40.50.20.576.22(本小题满分12分)如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值. 解(1)证明：如图，连接OC.PO底面O，AC底面O，ACPO.OAOC，D是AC的中点，ACOD.又ODPOO，AC平面POD.又AC平面PAC，平面POD平面PAC.(2)在平面POD中，过点O作OHPD于点H.由(1)知，平面POD平面PAC，且交线为PD，OH平面POD，OH平面PAC.又PA平面PAC，PAOH.在平面PAO中，过点O作OGPA于点G，连接HG，则有PA平面OGH，PAHG.故OGH为二面角BPAC的平面角C是的中点，AB是直径，OCAB.在RtODA中，ODOAsin45.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.OH平面PAC，GH平面PAC，OHGH.在RtOHG中，sinOGH.cosOGH.故二面角BPAC的余弦值为.
