1、双曲线与抛物线的性质与应用一、 单选题1、（2018年高考浙江卷）双曲线的焦点坐标是（ ）A(，0)，(，0)B(2，0)，(2，0)C(0，)，(0，)D(0，2)，(0，2)【答案】B【解析】设的焦点坐标为，因为，所以焦点坐标为，故选B2、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线为，渐近线方程为：，其渐近线方程为：，故选：B.3、（2020浙江高三）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）ABCD【答案】A【解析】双曲线的焦距为4，可得m+14，所以m3，由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为： 所以双曲线的渐近线方程为：yx故
2、选：A4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为（ ）ABC或D【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线为，.故选:A.5、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题,离心率,解得,因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即故选：C6、（2018年高考全国理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A7、（2020浙江温州中学3月高考模拟）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）ABCD【
3、答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为双曲线的标准方程为故选：B8、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，所以，的周长为，当且仅当、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.因此，该双曲线的离心率为.故选：D.9、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，
4、线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，故，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：.10、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，的离心率.故选：C.11、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设双曲线E：，命题p：双曲线E离心率，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，离心率
5、为，由，可得，即有，可得，即得渐近线方程为，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得，可得，即有是的充要条件，故选：12、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，又由圆，可得圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，则，可得，故选C.13、（2020年高考全国卷理数）设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=（ ）A 1B 2C 4D 8【答案】A【解析】，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A14、（
6、2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为（ ）ABC8D【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点为，设抛物线的准线与轴交点为，则， 又直线AF的斜率为，所以，因此，；由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，所以的面积为.故选：B.15、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】取的中点，连接 ,由条件可知，是的中点， 又， ,根据双曲线的定义可知，直线的方程是： ，即 ，原点到
7、直线的距离，中，整理为： ，即 ，解得： ，或（舍）故选：C16、（2020年高考北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）A 经过点B 经过点C 平行于直线D 垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B17、（2020浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，则（ ）A1B2C3D9【答案】C【解析】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，则，过M，N分
8、别作准线的垂线，垂足分别为，如图，由抛物线定义知，因为，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，过M作的垂线，垂足为G，则，所以，解得，故.故选：C.18、（2020年高考全国卷理数）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）A4B8C16D32【答案】B【解析】，双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，联立，解得，故，面积为：，双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：.故选：B二、 多选题19、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，则
9、能使双曲线C的方程为的是（ ）A离心率为B双曲线过点C渐近线方程为D实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；故选：ABC.20、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）A以线段为直径的圆与直线相离 B以线段为直径的圆与轴相
10、切C当时，D的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.对于选项C，D，设，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，若设，则，于是，最小值为4；当可得，所，.故选:ACD.21、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】由抛物线的定义，A正确；，是
11、的平分线，B正确；若，由是外角平分线，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；连接，由A、B知，又，是平行四边形，显然，D正确22、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，由抛物线的定义可知，则为等边三角形，则，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，（抛物线
12、定义），C选项正确；，D选项错误.故选：ABC.23、（2020年新高考全国卷）已知曲线.（ ）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为 C若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD三、 填空题24、（2019年高考江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线
13、方程是 .【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.25、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为_.【答案】【解析】设MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MAMB，PAPQ，BF2QF2，又PF1PF2，MF1MF2（MA+AP+PF1）（MB+BF2）PQ+PF2QF22PQ，由双曲线的定义可知MF1MF22a，故而aPQ，又c2，双曲线的离心率为e故答案为：26、（2020年高考全国I卷理数）已知F为双曲线的右焦点，A为C的
14、右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：27、（2020年新高考全国卷）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_【答案】【解析】抛物线的方程为，抛物线的焦点F坐标为，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：28、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且
15、（O为坐标原点），则C的离心率为_.【答案】2【解析】由题意，一条渐近线方程为，即， ，由得，故答案为：2.29、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是_【答案】【解析】设抛物线的焦点是，根据抛物线的定义可知 ，当三点共线时，等号成立，的最小值是，的最小值是.故答案为：30、（2020年高考北京）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_【答案】；【解析】在双曲线中，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.四、 解答题31、（2020届浙江省嘉兴
16、市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，分别交抛物线于点当时，求面积的最小值【解析】（1）当时，所以，故所求抛物线方程为.（2）点为抛物线上的动点，则，设过点的切线为，则，得，是方程（*）式的两个根，所以，设，因直线，与抛物线交于点A，则得，所以，即，同理，设直线，则，又，所以令，当且仅当，即时，取得最小值.32、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN
17、关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）当直线l的倾斜角为45，则的斜率为1，的方程为.由得.设，则，抛物线C的方程为.（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），由得，.直线PM，PN关于x轴对称，.时，此时.当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.33、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点，抛物线的焦点为线段中点.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线的切线，为切线上的
18、点，且轴，求面积的最小值.【解析】（1）由已知得焦点的坐标为，抛物线的方程为：；（2）设直线的方程为：，设，联立方程，消去得：，设直线方程为：，联立方程，消去得：，由相切得：，又，直线的方程为：，由，得，将代入直线方程，解得，所以，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以面积的最小值为.34、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.【解析】由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，所以在处的切线方程为：，令，可得，即，所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得所以，可证得：.设直线的方程为：，直线与抛物线联立，整理可得：，即，所以的中点坐标为：，所以线段的中垂线方程为：，由题意中垂线过，所以，即，由抛物线的性质可得：，所以，即，设，的中点的纵坐标为，所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：，要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即所以到直线的距离为：，而弦长，所以，将代入可得，设为偶函数，只看的情况即可，令，当，单调递增；当，单调递减，所以且上，为最大值，所以的最大值为：.
