1、第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆1.2020湖南岳阳入学调研考试已知定点M(1,0)和椭圆x29+y23=1上两个动点P,Q满足MPMQ,则MPQP取得最小值时点P的横坐标为()A.12B.1C.32D.522.2020安徽省示范高中名校联考已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=22,B为短轴的一个端点,三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为7,则椭圆的长轴长为()A.4B.8C.1+332D.1+333.2020陕西省部分学校摸底检测已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限的点,延长PF2
2、交椭圆于点Q,若PF1PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为()A.2 - 2B.3-2C.2 - 1D.6-34.2020福建省三明市模拟已知P是椭圆x225+y29=1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且F1PF2=60,则F1PF2面积为()A.33B.23C.3D.335.2019唐山市高三摸底考试已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和双曲线E:x2 - y2=1有相同的焦点F1,F2,且椭圆C与双曲线E的离心率之积为1,P为两曲线的一个交点,则F1PF2为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定6.2020洛阳市第一次联考已知椭圆C1:x2a
3、12+y2b12=1(a1b10)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a20,b20)有相同的焦点F1,F2,点P是曲线C1与C2的一个公共点,e1,e2分别是C1和C2的离心率,若PF1PF2,则4e12+e22的最小值为.7.2020惠州市二调已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且F1AB的面积为2 -32,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围是.8.2020陕西省百校第一次联考已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别为3+1和3
4、- 1.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若ACDB+ADCB=10,求k的值.9.2019湖北十堰调研已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,F是椭圆C的一个焦点,点M(0,2),直线MF的斜率为63.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为N,且|AB|=|MN|,求直线l的方程.10.2020四川五校联考设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为53,以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为
5、()A.13B.12C.33D.3211.2019江西南昌模拟已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1AF2,SF1AF2=2,则椭圆C的方程为()A.x26+y22=1B.x28+y24=1C.x28+y22=1D.x220+y216=112.2019蓉城名校高三第一次联考已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1( - c,0),F2(c,0),P是椭圆上一点,|PF2|=|F1F2|=2c,若PF2F1(3,),则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,12)B.(0,13)
6、C.(12,1)D.(13,12)13.2019江西名校高三质检如图10 - 1 - 1所示,A1,A2是椭圆C:x218+y29=1的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与A1,A2重合,点N满足NA1MA1,NA2MA2,则SMA1A2SNA1A2=()图10 - 1 - 1A.2B.3C.4D.5214.2020广东七校联考已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c,直线l:y=24x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为.15.2020四省八校联考设点P是椭圆C:x28+y24=1上的动点,F为椭圆C的右焦点,定点A(2,1),则|PA|+|
7、PF|的取值范围是.16.2020南昌市测试已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点中的三个是边长为23的等边三角形的三个顶点.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2b23相切且交椭圆E于M,N两点,求|MN|的最大值.17.新情境题有一个高为12 cm,底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯,杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计),当玻璃杯倾斜时,杯中水面的形状为椭圆,则在杯中的水不溢出的前提下,该椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,55B.55,1)C.(0,255D.255,1)18.交汇题2019年1月3日10点26分(北
8、京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图10 - 1 - 2所示,图10 - 1 - 2假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,若用e1和e2分别表示椭圆轨道和的离心率,则()A.e1e2B.e1|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|=89a2,所以|PF1|=4
9、3a,|PF2|=23a,所以直线PF1的斜率kPF1=tanPF1F2=|PF2|PF1|=12.故选B.解法二因为e=ca=53,故可设a=3,c=5,则b=2,SPF1F2=b2tanF1PF22=b2tan 45=12|PF1|PF2|=4.因为点P在第一象限,所以|PF1|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线PF1的斜率kPF1=tanPF1F2=|PF2|PF1|=12.故选B.11.A因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1|AF2|=4a2.又AF1AF
10、2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1|AF2|=4a2 - 4c2=4b2,即|AF1|AF2|=2b2,所以SAF1F2=12|AF1|AF2|=b2=2.因为AF1F2是直角三角形,F1AF2=90,且O为F1F2的中点,所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨设点A在第一象限,则AOF2=30,所以A(32c,12c),所以SAF1F2=12|F1F2|12c=12c2=2,即c2=4,故a2=b2+c2=6,所以椭圆C的方程为x26+y22=1,故选A.12.D根据题意知,|PF2|=|F1F2|=2c,则|PF1|=2a - 2c.在PF1F2中,cosPF2F1
11、=4c2+4c2 - (2a - 2c)224c2=c2 - a2+2ac2c2=12+2ac - a22c2=12+1e - 12(1e)2.因为PF2F1(3,),所以cosPF2F1( - 1,12),所以 - 112+1e - 12(1e)20,1e - 12(1e)20,即(1e)2 - 2e - 30,即(1e - 3)(1e+1)0,又e0,解得21e3,13e12.故选D.13.A由题意知A1(0,3),A2(0, - 3).设M(x0,y0),N(x1,y1),则直线MA1的斜率为kMA1=y0 - 3x0.由NA1MA1,可得NA1的斜率为kNA1= - x0y0 - 3.
12、于是直线NA1的方程为y= - x0y0 - 3x+3.同理,NA2的方程为y= - x0y0+3x - 3.联立消去y,得x=x1=y02 - 9x0.因为M(x0,y0)在椭圆x218+y29=1上,所以x0218+y029=1,从而y02 - 9= - x022,所以x1= - x02,所以SMA1A2SNA1A2=|x0x1|=2.故选A.14.32设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1,y1),则y1=24x1,由|AB|=2c,可知|OA|=x12+y12=c(O为坐标原点),即x12+(24x1)2=c,解得x1=223c,所以A的(223c,13c),把点A的坐标代入椭圆
13、方程得(223c)2a2+(13c)2b2=1,又a2=b2+c2,整理得8e4 - 18e2+9=0,即(4e2 - 3)(2e2 - 3)=0,又0e0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= - 6km1+3k2,x1x2=3(m2 - 3)1+3k2.由弦长公式得|MN|=1+k2|x1 - x2|=1+k2(x1+x2)2 - 4x1x2=1+k212(9k2+3 - m2)1+3k2,将m2=2(1+k2)代入上式得,|MN|=1+k212(9k2+3 - 2k2 - 2)1+3k2=6(2+2k2)(7k2+1)1+3k26(2+2k2)+(7k2+1)21+3k2
14、=362,当且仅当2+2k2=7k2+1,即k2=15时等号成立,故|MN|的最大值为362.17.C由题意知,当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时,杯中水面所形成的椭圆的离心率最大,易知此时椭圆的长轴长为122+62=65,短轴长为6,所以椭圆的离心率e=1 - (335)2=255,所以e(0,255.18.A设椭圆轨道和椭圆轨道的长轴长分别为2a1,2a2,焦距分别为2c1,2c2,由题意知a1a20,c1c20,且a1 - c1=a2 - c2.令a1 - c1=a2 - c2=t,t0,a1=t+c1,a2=t+c2.1e1=a1c1=c1+tc1=1+tc1,1e2=a2c2=c2+
15、tc2=1+tc2.c1c20,t0,tc1tc2,1e1e2.故选A.19.A由题意易知曲线为椭圆,故正确.画出轴截面的示意图如图D 10 - 1 - 8所示,图D 10 - 1 - 8A,B为截面与圆锥的两条母线的交点.因为AMO=BMO=30,MAAB,MO=1,所以AO=12MO=12,OMB=OBM=30,所以BO=MO=1,所以AOBO=12.因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB,所以点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点,所以正确.因为曲线是一个封闭的曲线,所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离,故错误.易知cosAOM=cos 60=12,cosAMO=cos 30=32,则椭圆的离心率e=cosAOMcosAMO=1232=33,故正确.故选A.
