1、第二讲二项式定理1.2020四川五校联考(3x3+x4)(2-1x)8的展开式中x2的系数为()A.-1 280B.4 864C.-4 864D.1 2802.2020安徽省示范高中名校联考在二项式(x+3x)n的展开式中,各项系数和为M,二项式系数和为N,且M+N=72,则展开式中常数项为()A.18B.12C. 9D.63.2019江西红色七校第一次联考二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为()A.120 B.135C.140D.1004.2019郑州一中测试设a=0sin xdx,则(ax-1x)6(x2+2)的展开式中常数项是()A.332B.-332C.320D.
2、-3205.2019武汉市高三调研测试若(x4-1xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.8B.10C.11D.126.2020重庆南开中学模拟已知(ax+1)n(nN*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a=.7.2020武汉市部分学校质量监测若(2x+13x)n的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的常数项为.8.2019广东百校联考在(x+2x)4的展开式中,含x-2的项的系数是.9.2019唐山市高三摸底考试在(ax2-2x)5的展开式中,x4的系数为5,则实数a的值为.10.2020山西忻州高三模拟设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的
3、最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.811.2020唐山市摸底考试在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是()A.-10B.0C.10D.2012.2020深圳高级中学高三适应性考试已知(1+ax)(2x-1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为()A.-80B.-40C.40D.8013.2019安徽江淮十校联考已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x3的项的系数是()A.-40B.-20C.20D.4014.2019江苏四校联考已知(1+x)n(nN*)的展
4、开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.2915.2020江西红色七校第一次联考(x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为.16.2019南昌市重点中学段考(x-y+2)6的展开式中y4的系数为.17.2019江淮十校联考若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为.18.2019上海市普陀区模拟如果(x2-12x)n(nN*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是.19.2019闽粤赣三省十校联考若(x3+1x2)n(nN*
5、)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为.20.新角度题(x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为()A.-136 000 B.-136 080 C.-136 160D.-136 28021.交汇题已知二项式(x+12ax)9的展开式中x3的系数为-212,则曲线y=1x与直线y=-a,x=-a,x=e所围成图形的面积是()A.1B.e-1C.eD.e-222.双空题若二项式(ax2+1x)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为,展开式中所有无理项的系数之和为.23.双空题已知(1+x+x2)3(1+2x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a
6、6x6+a7x7,则a3=,a1+a2+a7=.24.2019河北衡水质量测评易错题二项式(ax+bx)n(a0,b0)的展开式中,设所有二项式系数的和为A,所有项的系数的和为B,常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为.第二讲二项式定理1.A由(2 - 1x)8的展开式的通项Tr+1=C8r28 - r( - 1x)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里取C8127( - 1x),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C8226( - 1x)2,故展开式中的x2项为3x3C8127( - 1x)+x4C8226( - 1x)2,化简得 - 1 28
7、0x2.故选A.2.C解法一令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.则展开式的通项公式为Tk+1=C3k(x)3 - k(3x)k=3kC3kx3 - 3k2,令3 - 3k=0,得k=1,所以常数项为9.故选C.解法二令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.(x+3x)3可看作三个(x+3x)相乘,其展开式中的常数项为C313x(x)2=9.故选C.3.B(1 - x)10的展开式的通项Tr+1=C10r( - x)r=( - 1)rC10rxr
8、,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为( - 1)4C104+( - 1)3C103+( - 1)2C102=135.故选B.【归纳总结】二项式定理的核心是通项,求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据所给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且nr,常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步,根据所求的指数求所求解的项.4.B因为a=0sinxdx= - cosx0=2,所以(ax-1x)6(x2+2)=(2x-1x)6(x2+2).因为(2x-1x)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2x)6 - r
9、( - 1x)r=( - 1)r26 - rC6rx3 - r,所以所求的常数项为( - 1)52C651+( - 1)323C632= - 332.故选B.5.C(x4 - 1xx)n的展开式的通项Tr+1=Cnr(x4)n - r( - 1xx)r=( - 1)rCnrx4n - 112r,当4n - 112r=0,即n=118r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.6.2依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.7.8令x=1,得展开式中所有项系数和为3n=81,解得n=4.(2x+13x)4的
10、展开式的通项公式为Tr+1=C4r(2x)4 - r(13x)r=24 - rC4rx4 - 43r,令4 - 43r=0,得r=3,所以展开式中的常数项为24 - 3C43=8.8.32(x+2x)4的展开式的通项Tr+1=C4rx4 - r(2x)r=C4r2rx4 - 2r,令4 - 2r= - 2,得r=3,所以含x - 2的项的系数为C4323=32.9.12由条件可知(ax2 - 2x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5 - r( - 2x)r=( - 2)rC5ra5 - rx10 - 3r,令10 - 3r=4,解得r=2,故( - 2)2C52a3=5,解得a=12
11、.10.B根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C2mm=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C2m+1m=C2m+1m+1=b.又13a=7b,所以13C2mm=7C2m+1m,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.11.B解法一(x - y)5展开式的通项Tk+1=Ck5x5 - k( - y)k=( - 1)kC5kx5 - kyk,所以(x+y)(x - y)5的展开式的通项为( - 1)kC5kx6 - kyk或( - 1)kC5kx5 - kyk+1,则当k=3时,有( - 1)kC5kx6 -
12、kyk= - 10x3y3,当k=2时,有( - 1)kC5kx5 - kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0,故选B.解法二(x+y)(x - y)5=(x+y)(x - y)(x - y)(x - y)(x - y)(x - y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取 - y,所以有xC52x2( - y)3= - 10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取 - y,所以有yC53x3( -
13、y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.12.D令x=1,得展开式中各项系数和为(1+a1)(2 - 11)5=1+a,所以1+a=2,所以a=1,所以(1+ax)(2x - 1x)5=(1+1x)(2x - 1x)5=(2x - 1x)5+1x(2x - 1x)5,所求展开式中常数项为(2x - 1x)5的展开式中的常数项与含x的项的系数和,(2x - 1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(2x)5 - r( - 1)r(1x)r=( - 1)r25 - rC5rx5 - 2r.令5 - 2r=1,得r=2;令5 - 2r=0,无整数解.所以展开式中的常数项为8C52=80.
14、故选D.13.D已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,令x=1,得2(2+a)5=2,解得a= - 1.解法一因为(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x - 1)5=(x+1)(32x5 - 80x4+80x3 - 40x2+10x - 1),故展开式中含x3的项的系数为80 - 40=40.故选D.解法二由(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x - 1)5,易知(2x - 1)5的展开式的通项Tr+1=C5r(2x)5 - r( - 1)r=( - 1)rC5r25 - rx5 - r.当x+1中取x时,令r=3,则含x3的项的系数为1( - 1)3C5322= -
15、40.当x+1中取1时,令r=2,则含x3的项的系数为1( - 1)2C5223=80.故展开式中含x3的项的系数为80 - 40=40.故选D.14.D因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10.从而C100+C101+C102+C1010=210,所以奇数项的二项式系数和为C100+C102+C1010=29.故选D.15. - 320(x - 2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6 - 2y(2x+y)6+(2x+y)6,(2x+y)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2x)6 - ryr=C6r26 - rx6 - ryr.x(2x+y
16、)6的展开式中x4y3的系数为C6323=160; - 2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为 - 2C6224= - 480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.综上,(x - 2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为 - 320.16.60解法一因为(x - y+2)6=(x+2) - y6,所以展开式中含y4的项为C64(x+2)2y4=15x2y4+60xy4+60y4,所以展开式中y4的系数为60.解法二由于(x - y+2)6的展开式中y4项不含x,所以(x - y+2)6的展开式中y4项就是(2 - y)6的展开式中y4项,即C6422( - y)4=60y4,
17、所以(x - y+2)6的展开式中y4的系数为60.17.0或2因为x+a=(x+1)+(a - 1),所以(x+a)9=(x+1)+(a - 1)9,其展开式的通项Tr+1=C9r(a - 1)9 - r(x+1)r,所以a5=C95(a - 1)4=126,所以(a - 1)4=1,解得a=0或2.18.164因为(x2 - 12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以展开式中共有24 - 1=7(项),所以n=6,所以(x2 - 12x)n=(x2 - 12x)6.令x=1,可得展开式中所有项的系数之和是(1 - 12)6=164.19.210由于(x3+1x2)n的展开式中只有
18、第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.所以(x3+1x2)n=(x3+1x2)10,展开式的通项Tr+1=C10r(x3)10 - rx - 2r=C10rx30 - 5r,所以当r=6时,C10rx30 - 5r为常数项,所以常数项为210.20.B由(x+2y - 3z)9=x+(2y - 3z)9,得其展开式的通项Tr+1=C9rx9 - r(2y - 3z)r=C9rx9 - rCrt(2y)r - t( - 3z)t=C9rCrt2r - t( - 3)tx9 - ryr - tzt(0tr9),令t=3,r - t=2,9 - r=4,解得t=3,r=5.故含x4
19、y2z3项的系数为C95C5322( - 3)3= - 136 080.21.D二项式(x+12ax)9的展开式的通项Tr+1=C9rx9 - r(12ax)r=C9r(12a)rx9 - 2r,令9 - 2r=3,得r=3.易知C93(12a)3= - 212,解得a= - 1,所以曲线y=1x与直线y=1,x=1,x=e所围成图形的面积S=e1(1 - 1x)dx=(x - ln x)e1=e - 2.故选D.22.2121易知(ax2+1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5 - r(1x)r=C5ra5 - rx10 - 5r2.令10 - 5r2=0,解得r=4,所以常数项
20、为T5=C54a5 - 4=10,解得a=2.由10 - 5r2Z,且0r5,可得r=1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T2,T4,T6,其中T2=C5125 - 1x10 - 52=80x152,T4=C5325 - 3x10 - 152=40x52,T6=C5525 - 5x10 - 252=x - 52,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.23.1980(1+x+x2)3=(1+x)+x23,所以(1+x+x2)3的展开式中x3的系数为C31C21+C30C33=6+1=7,(1+x+x2)3的展开式中x2的系数为C31C20+C30C32=6,所以a3=7+26
21、=19.对于(1+x+x2)3(1+2x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+a7=81.所以a1+a2+a7=81 - 1=80.24.8x6依题得2n=256,所以n=8.在(ax+bx)8的展开式中,令x=1,则有(a+b)8=256,所以a+b=2.(ax+bx)8的展开式的通项Tr+1=C8r(ax)8 - r(bx)r=C8ra8 - rbrx8 - 2r,令8 - 2r=0,得r=4,可得常数项为C84a4b4=70,解得ab=1或ab= - 1(舍),则由ab=1,a+b=2,解得a=1,b=1.所以Tr+1=C8rx8 - 2r.令8 - 2r=6,得r=1.所以T2=C81x6=8x6,故展开式中含x6的项为8x6.【易错警示】解题时易将“二项式系数和”与“所有项的系数和”混淆,解题的关键是弄清两者的概念.二项展开式中二项式系数和为2n,而求解二项展开式中所有项的系数和时常用赋值法.
