1、第十一章计数原理第一讲两个计数原理、排列与组合1.2020洛阳市第一次联考某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.322.2020江西临川一中第一次联考将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子中放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为()A.40 B.60C.80 D.1003.2019四省八校联考现将3名男医生和3名女医生分成两个组,去支援两个山区,每组至少2人,女医生不能全在同一组,且每组不能
2、全为女医生,则不同的派遣方法有()A.36种B.54种C.24种D.60种4.2019长春市高三第一次质量监测要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为()A.6B.12 C.24D.365.2020浙江温州九校第一次联考4名学生参加3个兴趣小组活动,每人参加1个或2个小组,那么3个兴趣小组都恰有2人参加的情况共有种.6.2020北京市通州区模拟用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中百位上的数字是5的四位数共有个.(用数字作答)7.2020四川模拟某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数学、英语为必
3、选科目.从物理、化学、生物、历史、地理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他选择的组合方式有种(用数字作答).8.2019开封市高三定位考试从甲、乙等5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为.9.2020南京高三调考某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种10.2020陕西西安二检将“1
4、24467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A.72B.120C.192D.24011.2019长沙四校联考某校为了解高三年级的学情和教情,从该年级6个班中选10名学生参加座谈会,要求每班至少派1名学生参加,其中高三(1)班至少派2名学生参加,则不同的选派方式有()A.72种B.60种C.50种D.56种12.2019河南濮阳模拟安排A,B,C,D,E,F六位义工照顾甲、乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人的住址距离问题,不安排义工A照顾老人甲,不安排义工B照顾老人乙,则不同的安排方法共有()A.30种B.40种C.42种D.48种13.2019蓉城名校高三第一次联考高
5、考阅卷组抽调A,B,C,D,E,F 6名阅卷老师和甲、乙2名阅卷组长,现将他们分成两个小组(每组4人)分别派往成都、绵阳两地指导高考备考.两地都要求既要有阅卷老师又要有阅卷组长,而且A由于工作原因只能去成都,则不同的选派方案共有种.14.2019合肥市高三调研检测将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33方格图中的三个方格内,如图11-1-1,要求任意两颗棋子不同行、不同列,且不在33方格图所在正方形的同一条对角线上,则不同的放法共有种.图11-1-115.原创题“二进制”与我国古代的易经有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号“”和“ ”,其中“”在二进制中记作“1”,“ ”在二进制中记作“
6、0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为()A.0,1,2,3B.0,1,2C.0,1D.1,216.2020陕西省百校第一次联考新情境题某型号智能手机有“星河银”“罗兰紫”“翡冷翠”“亮黑色”四种颜色.现甲、乙等四位市民准备分别购买一部该型号的手机,且所购买手机的颜色互不相同.若甲购买“亮黑色”或“星河银”的手机,则乙不购买“罗兰紫”的手机,那么这四位市民不同的购买方案有种.17.2019江西红色七校第一次联考数学文化题小明有中国古代四大名著三国演义西游记水浒传红楼梦各一本,他要将这四本书全部借给三位同学,每位同学至少一本,但西游记
7、红楼梦这两本书不能借给同一人,则不同的借法有种.第十一章计数原理第一讲两个计数原理、排列与组合1.C第一步,将3辆不同型号的车进行排列,有A33种方法;第二步,把剩余的4个车位看成一个元素,插入3辆车所形成的4个空位中,有C41种方法.由分步计数原理可知,不同的停放方法共有A33C41=24(种).故选C.2.A根据题意,在六个盒子中任选三个,分别放入与其编号相同的小球,不同的选法共有C63=20(种).再将其余三个盒子中分别放入一个与其编号不同的小球,有2种放法.则不同的放法有202=40(种).故选A.3.A分组情况有2,4型和3,3型.2,4型只能是1男1女和2男2女,此时有C31C31
8、种分法;3,3型只能是2男1女和1男2女,此时有C32C31种分法.综上,不同的派遣方法共有(C31C31+C32C31)A22=36(种).故选A.4.B由题意可知,可以分两类,第一类,甲与另一人一同被分到A班,分法有C31A22=6(种);第二类,甲单独被分到A班,分法有C32A22=6(种).所以甲被分到A班的分法共有12种.故选B. 5.90由题意得,4名学生中恰有2名学生各参加2个兴趣小组,其余2 名学生各参加1个兴趣小组.第一步,从4名学生中抽出2名参加2个兴趣小组的学生,不同的抽法共有C42=6(种).第二步,对参加兴趣小组的情况进行讨论:参加2个兴趣小组的2名学生参加的兴趣小组
9、完全相同,不同的情况共有C32=3(种);参加2个兴趣小组的2名学生参加的兴趣小组有一个相同,不同的情况共有C32C21A22=12(种).故不同的情况共有6(3+12)=90(种).6.48依题意,组成的没有重复数字的四位数的百位上的数字为5,分两步进行分析:组成的四位数的千位上的数字不能为0,则千位上的数字有4种选法;在剩下的4个数字中选出2个,分别安排在十位和个位上,不同的安排方法共有A42=12(种).则符合条件的四位数共有124=48(个).7.30“物理和化学两科中至多选一科”的选法可分两类.第一类,不选物理和化学,选法有C53=10(种);第二类,选物理和化学中的一门,选法有C2
10、1C52=20(种).所以他选择的组合方式共有10+20=30(种).8.36分三种情形讨论:甲、乙都选,不同的参赛方案有C21A32=12(种);选乙不选甲,不同的参赛方案有A33=6(种);选甲不选乙,不同的参赛方案有C31A33=18(种).所以满足条件的不同的参赛方案种数为12+6+18=36.9.A解法一记演出顺序为16号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法种数分别为A22A33,A22A33,C21A22A33,C31A22A33,C31A22A33,故总编排方案有A22A33+A22A33+C21A22A33+C31A22A3
11、3+C31A22A33=120(种).故选A.解法二记演出顺序为16号,按甲的编排进行分类,当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则编排方案有C41A22A33=48(种);当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,编排方案共有C31A22A33=36(种);当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,编排方案共有C31A22A33=36(种).所以编排方案共有48+36+36=120(种).故选A.10.D若将“124467”重新排列后所得数为偶数,则末位数字应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以偶数有543212=60(个);(2)若末位数字为6,同理偶数有543212=6
12、0(个);(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以偶数有54321=120(个).综上可知,不同的偶数共有60+60+120=240(个).故选D.11.D首先需满足高三(1)班选2名学生,其余班级各选1名学生.然后只需分配剩下的3个名额,这3个名额可以分到一个班,有C61种分法;也可以分到两个班,其中一个班1个,一个班2个,有A62种分法;还可以分到三个班,每班1个,有C63种分法.因此不同的选派方式共有C61+A62+C63=56(种).故选D.12.C解法一先按A分类,兼顾考虑B,分类如下.A照顾乙,B照顾甲,有安排方法C41C31=12(种);A照顾乙,B照顾丙,有安排方法C4
13、1C31=12(种);A照顾丙,B照顾甲,有安排方法C41C31=12(种);A照顾丙,B照顾丙,有安排方法C42=6(种).综上分析可得,不同的安排方法共有12+12+12+6=42(种).故选C.解法二(间接法)六位义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人,共有安排方法C62C42=90(种).其中A照顾老人甲的情况有C51C42=30(种);B照顾老人乙的情况有C51C42=30(种);A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有C41C31=12(种).所以符合题意的安排方法有90 - 30 - 30+12=42(种).故选C.【解后反思】特殊元素和特殊位置优先分析策略,是解决排列、组合问题
14、最常用的方法.若用特殊元素分析法,需优先安排特殊元素,再安排其他元素;若用特殊位置分析法,需先考虑特殊位置上的元素的安置,再考虑其他位置上的元素的安置.对于有多个约束条件的问题,在考虑一个约束条件的同时,还需兼顾其他约束条件.对于限制条件较多的问题,也可采用间接法进行求解.13.20先将2名阅卷组长分别派往成都、绵阳两地,选派方案有A22=2(种);由于A只能派往成都,所以只需从剩余的5名阅卷老师中选派2名去成都,其余的阅卷老师派往绵阳即可,即选派方案有C52=10(种).所以选派方案共有210=20(种).14.24要想任意两颗棋子不在同一行、同一列和同一条对角线上,则三颗棋子必有一颗在正方
15、形方格的顶点,另两颗在对角顶点的两侧,如图D 11 - 1 - 2所示,111图D 11 - 1 - 2由于正方形有四个顶点,故有四个不同的相对位置,又三颗棋子颜色不同,故不同的放法共有4A33=24(种).15.A根据题意,从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类:由两个“”组成,二进制数为11,转化为十进制数,为3.第二类:由两个“ ”组成,二进制数为00,转化为十进制数,为0.第三类:由一个“”和一个“ ”组成,二进制数为10,01,转化为十进制数,为2,1.所以从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选A.16.20根据甲实际购买的手机的颜
16、色进行分类.第一类,甲实际购买的手机的颜色为“亮黑色”或“星河银”,则满足题意的购买方案有C21C21A22=8(种);第二类,甲实际购买的手机的颜色既不是“亮黑色”,也不是“星河银”,则满足题意的购买方案有C21A33=12(种).由分类加法计数原理可知,这四位市民不同的购买方案有8+12=20(种).17.30根据题意,分两步进行分析:将四本书分成3组,其中1组两本,其他2组各一本,分组方法有C42C21C11A22=6(种),但西游记红楼梦这两本书不能借给同一人,即这两本书不能分在同一组,西游记红楼梦分在同一组的情况有1种,故四本书分成3组,符合题意的分法有6 - 1=5(种);将分好的3组全排列,对应三位同学,情况有A33=6(种).则不同的借法有56=30(种).
