1、素养提升4高考中立体几何解答题的提分策略1.12分如图4-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,PA=PD.(1)证明:BCPB.(2)若PAPD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.图4-12.12分如图4-2,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.(1)求证:AB1平面A1BD;(2)求锐二面角A-A1D-B的余弦值.图4-23.12分如图4-3,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱DD1上的一点,点F为边AD的中点.(1)点E为DD1的中点时,求作一个平面与平面CA1E平行,要求保留作图痕迹,并说明点的位置,不用
2、证明;(2)当DE为多长时,直线BD1与平面CA1E所成角的正弦值为4221?图4-34.原创题,12分如图4-4(1),在ABC中,AB=BC=2,ABC=90,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE,如图4-4(2)所示.(1)证明:EF平面PBE.(2)设N为线段PF上一动点,求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值.图4-4素养提升4高考中立体几何解答题的提分策略1. (1)如图D 4 - 1,取AD的中点E,连接PE,BE,BD,图D 4 - 1PA=PD,PEAD.底面ABCD为菱形,且BAD=60,ABD为等边三角形,BE
3、AD.PEBE=E,PE,BE平面PBE,AD平面PEB,又PB平面PEB,ADPB.ADBC,BCPB.(4分)(2)设AB=2,则AB=PB=AD=2,BE=3,PAPD,E为AD的中点,PA=2,PE=1,PE2+BE2=PB2,PEBE.以E为坐标原点,分别以EA,EB,EP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图D 4 - 2所示的空间直角坐标系,图D 4 - 2则A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),C( - 2,3,0),AB=( - 1,3,0),AP=( - 1,0,1),BP=(0, - 3,1),BC=( - 2,0,0).设平面PAB的法向量为n1=(x1,
4、y1,z1),n1AB=0,n1AP=0, - x1+3y1=0, - x1+z1=0,令x1=1,得z1=1,y1=33,n1=(1,33,1)为平面PAB的一个法向量.设平面BPC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2BP=0,n2BC=0, - 3y2+z2=0, - 2x2=0,令y2= - 1,得x2=0,z2= - 3,即n2=(0, - 1, - 3)为平面BPC的一个法向量.n1n2|n1|n2|= - 277.设二面角A - PB - C的平面角为,由图可知为钝角,则cos = - 277.(12分)【易错警示】求二面角的值的易错点是:(1)求平面的法向量出错;(2)公
5、式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错.注意,二面角的取值范围为0,.2.(1)取BC的中点O,连接AO.ABC为等边三角形,AOBC.在正三棱柱ABC - A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,又平面ABC平面BCC1B1=BC,AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,连接OO1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系O - xyz,如图D 4 - 3所示,图D 4 - 3则B(1,0,0),D( - 1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0),AB1=(1,2, - 3),BD=(
6、- 2,1,0),BA1=( - 1,2,3),AB1BD=0,AB1BA1=0,AB1BD,AB1BA1,BDBA1=B,AB1平面A1BD.(6分)(2)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).AD=( - 1,1, - 3),AA1=(0,2,0),nAD=0,nAA1=0, - x+y - 3z=0,2y=0,y=0,x= - 3z,令z=1,得n=( - 3,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由(1)知AB1平面A1BD,AB1为平面A1BD的一个法向量,cos=nAB1|n|AB1|= - 3 - 3222= - 64,锐二面角A - A1D - B的余弦值为64.(12分)
7、3.(1)如图D 4 - 4,取线段AA1的靠近A的四等分点M,取AB的中点N,连接FM,MN,FN,则平面FMN即为所求.(5分)图D 4 - 4部分其他作图方法如图D 4 - 5(1)(2)(3):(1)(2)(3)图D 4 - 5 (2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图D 4 - 6所示,图D 4 - 6设DE=a,0a3,则A1(0,0,3),C(3,3,0),E(3,0,a),D1(3,0,3),B(0,3,0),则A1C=(3,3, - 3),CE=(0, - 3,a),BD1=(3, - 3,3).(6分)设平面CA1E的
8、法向量为m=(x,y,z),则mA1C=0,mCE=0,所以3x+3y - 3z=0, - 3y+az=0,令z=3,则m=(3 - a,a,3)为平面CA1E的一个法向量.(8分)设直线BD1与平面CA1E所成的角为,则sin =|cos|=|mBD1|m|BD1|=|18 - 6a|2a2 - 6a+1833=4221,(11分)得2a2 - 13a+18=0,解得a=2或a=92(舍去),所以DE=2.(12分)4.(1)因为E,F分别为AB,AC边的中点,所以EFBC.(1分)因为ABC=90,所以EFBE,EFPE.(3分)又BEPE=E,BE,PE平面PBE,所以EF平面PBE.(
9、4分)(2)如图D 4 - 7所示,取BE的中点O,连接PO,由(1)知EF平面PBE,EF平面BCFE,所以平面PBE平面BCFE.因为PB=BE=PE,所以POBE,又PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,所以PO平面BCFE.(6分)过点O作OMBC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图D 4 - 7所示.图D 4 - 7则P(0,0,32),C(12,2,0),F( - 12,1,0),B(12,0,0),PC=(12,2, - 32),PF=( - 12,1, - 32).(8分)因为N为线段PF上一动点,故设PN=PF(01),得N( - 2,32(1 - ),所以BN=( - +12,32(1 - ).(9分)设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),则PCm=0,PFm=0,即12x+2y - 32z=0, - 12x+y - 32z=0,令y=1,则m=( - 1,1,3)为平面PCF的一个法向量.(10分)设直线BN与平面PCF所成的角为,则sin =|cos|=|BNm|BN|m|=2522 - +1=252( - 14)2+782578=47035(当且仅当=14时取等号).(11分)所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为47035.(12 分)
