1、第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.2020湖北部分重点中学高三测试如图8-5-1,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为()图8-5-1A.30B.60 C.120D.1502.2019湖南长沙市长郡中学二模图8-5-2中的三个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面.下列各选项中,关于直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是()图8-5-2A.BD1平面EFG的有且只有,BD1平面EFG的有且只有B.BD1平面EFG的有且只有,BD1平面EFG的有且只有C.BD
2、1平面EFG的有且只有,BD1平面EFG的有且只有D.BD1平面EFG的有且只有,BD1平面EFG的有且只有3. 2019安徽宣城二调如图8-5-3,图8-5-3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上一点,且A1M=(00),则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,a),D1(0,0,a),所以AC=( - 2,2,0),AD1=( - 2,0,a),CC1=(0,0,a).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则nAC=0,nAD1=0,即 - 2x+2y=0, - 2x+az=0,取x=1,则
3、n=(1,1,2a)为平面ACD1的一个法向量.设直线CC1与平面ACD1所成的角为,则sin =|cos|=|nCC1|n|CC1|=|22+4a2a|=13,解得a=4,故选C.5.C设E,F,G分别为AC,AB,AC的中点,连接HE,HG,EF,FG,FH,CH,则HE平面ABC,HG平面ABC,EFAB,FGAB.设EFG=,易知H与E,F,G共面,则EFH=2,由二面角的定义,知EFG为二面角C - AB - C的平面角.易知HE=EFtan 2=tan 2,CE=2.设球H的半径为R,则CH=R,在RtCEH中,CH2=CE2+EH2,即R2=2+tan22,由12=4R2,得R2
4、=3,所以tan22=1,所以=2.故选C.6.(1)因为BAP=90,所以PAAB,又侧面PAB底面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PA平面PAB,所以PA平面ABCD.又BD平面ABCD,所以PABD.又BCD=120,四边形ABCD为平行四边形,所以ABC=60,又AB=AC,所以ABC为等边三角形,所以四边形ABCD为菱形,所以BDAC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BD平面PAC,又BD平面PBD,所以平面PAC平面PBD. (2)由平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分,知M为PD的中点.取BC的中点N,连接AN,由AB=AC知ANBC.由(1
5、)知PA平面ABCD,以A为坐标原点,AN,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图D 8 - 5 - 12所示的空间直角坐标系,图D 8 - 5 - 12则A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),PM=(0,1, - 1),PC=(3,1, - 2),AM=(0,1,1),AC=(3,1,0).设平面MPC的法向量为v1=(x1,y1,z1),则PMv1=0,PCv1=0,即y1 - z1=0,3x1+y1 - 2z1=0,令y1=1,则可得v1=(33,1,1)为平面MPC的一个法向量.设平面MAC的法向量为v2=(x2,y2,z
6、2),则AMv2=0,ACv2=0,即y2+z2=0,3x2+y2=0,令x2=1,则可得v2=(1, - 3,3)为平面MAC的一个法向量.设二面角P - MC - A的大小为,则|cos |=|v1v2|v1|v2|=17,则二面角P - MC - A的正弦值为437.7.如图D 8 - 5 - 13所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.图D 8 - 5 - 13(1)易知D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),C(0,3,0),则DA1=(1,0,1),CD1=(0, - 3,1),|cos|=|DA1CD1|
7、DA1|CD1|=122=24.所以异面直线D1C与A1D所成角的余弦值为24.(2)由题意知,m=(0,0,1)为平面DEC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面D1EC的法向量,则|cos|=|mn|m|n|=|z|x2+y2+z2=cos 45=22,所以z2=x2+y2.易知D1C=(0,3, - 1),由nD1C得nD1C=0,所以3y - z=0.令y=1,由知n=(2,1,3)为平面D1EC的一个法向量,又易知CB=(1,0,0),所以点B到平面D1EC的距离d=|CBn|n|=26=33.8.(1)在半圆柱中,BB1平面PA1B1,PA1平面PA1B1,所以BB1PA1.因为
8、A1B1是上底面对应圆的直径,所以PA1PB1.因为PB1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1.(2)根据题意,以C为坐标原点建立空间直角坐标系C - xyz,如图D 8 - 5 - 14所示.图D 8 - 5 - 14设CB=1,则C(0,0,0),A1(0,1,2),B1(1,0,2),所以CA1=(0,1,2),CB1=(1,0,2).易知n1=(0,0,1)为平面PA1B1的一个法向量.设平面CA1B1的法向量为n2=(x,y,z),则y+2z=0,x+2z=0,令z=1,则x= - 2,y= - 2,所以n2=( - 2, - 2,1)为平面C
9、A1B1的一个法向量.所以cos=115=55.由图可知二面角P - A1B1 - C为钝角,所以所求二面角的余弦值为 - 55.9.B如图D 8 - 5 - 15,正方体ABCD - A1B1C1D1中,连接AC,交BD于点O.图D 8 - 5 - 15因为BD=BC1=DC1=2,所以BC1D是等边三角形,故三棱锥C - BC1D为正三棱锥.设O为BC1D的中心,连接CO,则CO平面BC1D,延长CO到M,使得MO=OC,连接OO,则OOAM,所以AM与平面ABCD所成的角等于OO与平面ABCD所成的角.易知BDOO,BDAC,OOAC=O,所以BD平面AMC,又BD平面ABCD,故平面A
10、MC平面ABCD,且平面ABCD平面AMC=AC,根据两个平面相互垂直的性质可知OO在平面ABCD上的射影一定落在线段AC上,故OOC为OO与平面ABCD所成的角,即AM与平面ABCD所成的角.因为OC=22,OO=13322=66,所以OC=(22)2 - (66)2=33,所以tanOOC=3366=2,故选B.10.D如图D 8 - 5 - 16,分别取AC,CD的中点E,F,连接OE,OF,EF,图D 8 - 5 - 16则OEBC,OE=12BC,EFAD,EF=12AD,OEF或其补角为异面直线AD与BC所成的角,AD=BC=2,OE=EF=1,SABC=12BCAC=12223=
11、23,为定值,要使四面体ABCD的体积最大,则点D到平面ABC的距离最大,则点D在平面ABC内的射影G在直径AB上.连接DG,则DGAB.在RtABD中,AD=2,AB=4,BAD=60,DG=3,AG=1.连接CG,在AGC中,CG2=AG2+AC2 - 2AGACcos 30=1+(23)2 - 212332=7,CD2=DG2+CG2=3+7=10,CD=10.连接OD,OC,在OCD中,OFCD,OF2+CF2=OC2,OF2+(CD2)2=OC2,OF2+(102)2=22,解得OF2=32.在OEF中,cosOEF=EF2+OE2 - OF22EFOE=1+1 - 32211=14
12、,异面直线AD与BC所成角的余弦值为14.故选D.【方法总结】破解此类题的关键:一是活用四面体的外接球的直径、球面上异于直径端点的点与该球的直径端点的连线构成的三角形为直角三角形;二是会转化,当三棱锥的底面面积为定值时,把四面体的体积最大问题,转化为三棱锥的高取最大值问题;三是活用定理,即灵活应用正弦定理、余弦定理破解求线段长问题;四是会用“取中法”,即会用取线段中点的方法破解找异面直线所成角的困难.11.221010如图D 8 - 5 - 17,正方体ABCD - A1B1C1D1中,设CD,BC的中点分别为H,G,连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.图D 8 - 5 - 17易知MEN
13、H,ME=NH,所以四边形MEHN是平行四边形,所以MNHE.因为MN平面EFHG,HE平面EFHG,所以MN平面EFHG,所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG,易知平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG,EF=2,FH=2,所以截面EFHG的面积为22=22.连接AC,交HG于点I,易知CIHG,平面EFHG平面ABCD,平面EFHG平面ABCD=HG,所以CI平面EFHG,连接EI,因为EI平面EFHG,所以CIEI,所以CEI为直线CE和截面EFHG所成的角.在RtCIE中,易知CE=1+22=5,CI=14AC=224=22,所以sinCEI=CICE=1010.12.(1)
14、由已知得四边形ABFE是正方形,且边长为2,如图D 8 - 5 - 18,连接BE,则AFBE,又AFBD,BEBD=B,BE平面BDE,BD平面BDE,AF平面BDE.又DE平面BDE,AFDE.又AEDE,AEAF=A,AE平面ABFE,AF平面ABFE,DE平面ABFE.(2)由(1)知ED,EA,EF两两垂直,以E为坐标原点,EA,EF,ED的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图D 8 - 5 - 18所示的空间直角坐标系.图D 8 - 5 - 18则A(2,0,0),F(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,1),AF=( - 2,2,0),AD=( - 2,0,1),
15、FC=(0,0,2).设平面ADF的法向量为n=(x,y,z),由nAF=0,nAD=0得 - 2x+2y=0, - 2x+z=0,不妨取x=1,则n=(1,1,2)为平面ADF的一个法向量.设平面ACF的法向量为m=(x1,y1,z1),由mAF=0,mFC=0得 - 2x1+2y1=0,2z1=0,不妨取x1=1,则m=(1,1,0)为平面ACF的一个法向量.设二面角D - AF - C的大小为,易知02,则cos =|cos|=|mn|m|n|=226=33.二面角D - AF - C的余弦值为33.13.(1)因为平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DE平面ADE
16、F,DEAD,所以DE平面ABCD.因为AC平面ABCD,所以DEAC.又四边形ABCD是正方形,所以ACBD.因为DEBD=D,DE平面BED,BD平面BED,所以AC平面BED.又AC平面ACE,所以平面ACE平面BED.(2)因为DA,DC,DE两两垂直,所以以D为坐标原点,建立如图D 8 - 5 - 19所示的空间直角坐标系D - xyz.图D 8 - 5 - 19则A(3,0,0),F(3,0,26),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0),所以CA=(3, - 3,0),BE=( - 3, - 3,36),EF=(3,0, - 6).设平面BEF的法向量为n=(x,
17、y,z),则nBE= - 3x - 3y+36z=0,nEF=3x - 6z=0,取x=6,得n=(6,26,3)为平面BEF的一个法向量.所以cos=CAn|CA|n|= - 363239= - 1313.所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为1313.(3)假设在线段AF上存在符合条件的点M,由(2)可设M(3,0,t),0t26,则BM=(0, - 3,t).设平面MBE的法向量为m=(x1,y1,z1),则mBM= - 3y1+tz1=0,mBE= - 3x1 - 3y1+36z1=0,令y1=t,得m=(36 - t,t,3)为平面MBE的一个法向量.由(1)知CA平面BED,所以
18、CA是平面BED的一个法向量,|cos|=|mCA|m|CA|=|96 - 6t|32(36 - t)2+t2+9=cos 60=12,整理得2t2 - 66t+15=0,解得t=62,故在线段AF上存在点M,使得二面角M - BE - D的大小为60,此时AMAF=14.14.(1)在直角梯形ABCD中,BC=1,AB=2,ABBC,AC=5,即AP=AC=5,BP=3BC=3,BA2+AP2=BP2,BAAP.又ADBC,BAAD,又APAD=A,BA平面PAD.BA平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)如图D 8 - 5 - 20,过点P作POAD交AD于点O,连接OC,由(1)可
19、知PO平面ABCD,易知PAO为PA与平面ABCD所成的角,tanPAO=2.又AP=5,AO=1,PO=2.AOBC且AO=BC,四边形ABCO为矩形,OCAD.以O为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图D 8 - 5 - 20所示.图D 8 - 5 - 20则A(0, - 1,0),P(0,0,2),D(0,1,0),B(2, - 1,0),AB=(2,0,0),AP=(0,1,2).设平面APB的法向量为n=(x,y,z),则有nAB=0,nAP=0,即2x=0,y+2z=0,令y=2,则n=(0,2, - 1)为平面APB的一个法向量.同理可
20、得平面PBD的一个法向量为m=(2,2,1).cos=mn|m|n|=353=55,由图可知二面角A - PB - D的平面角为锐角,二面角A - PB - D的余弦值为55.15.(1)BC的中点即为所找的点O.AB=AC,AOBC,又EC平面ABC,AO平面ABC,ECAO.BCEC=C,BC平面BDEC,EC平面BDEC,AO平面BDEC.又CF平面BDEC,AOCF. (2)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,过点A且平行于EC的直线为z轴建立如图D 8 - 5 - 21所示的空间直角坐标系,图D 8 - 5 - 21则A(0,0,0),E(0, - 2,4),D( -
21、 2,0,2),O( - 1, - 1,0),AO=( - 1, - 1,0),ED=( - 2,2, - 2).设EF=ED(01),则可得F( - 2,2 - 2,4 - 2),则AF=( - 2,2 - 2,4 - 2).设平面AOF的法向量为m=(x,y,z),则mAO=0,mAF=0,令x=1,则m=(1, - 1,2 - 12 - )为平面AOF的一个法向量.易得平面ACE的一个法向量为n=(1,0,0).令|cos|=|mn|m|n|=1(2 - 12 - )2+2=12,解得=12.故当F为DE的中点时,平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为4.【素养落地】试题以四棱锥为
22、载体,结合探究性的设问方式,要求考生分析几何元素间的位置关系、数量关系,然后运用空间向量法解决几何问题,使直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养得到了综合考查.16.(1)如图D 8 - 5 - 22所示,连接AC,BD交于点G,连接EG,FG.图D 8 - 5 - 22因为四边形ABCD为矩形,且E,F分别是AD,SC的中点,所以EGCD,FGSA.又SA平面ABCD,所以GF平面ABCD,所以GFAD.又ADGE,GEGF=G,GE平面GEF,GF平面GEF,所以AD平面GEF,所以ADEF.因为EF与平面ABCD所成的角为45,所以FEG=45,从而GE=GF,所以SA=AB.取SB的中
23、点H,连接AH,FH,则由F,H分别为SC,SB的中点,得FHBC且FH=12BC,所以FHAE且FH=AE,从而四边形AEFH为平行四边形.又由SA=AB,知AHSB.又BC平面SAB,所以AHBC.又SBBC=B,SB平面SBC,BC平面SBC,从而AH平面SBC.从而EF平面SBC.又SC平面SBC,从而EFSC.综上知EF为异面直线AD与SC的公垂线.(2)设BC=2,则EF=12BC=1,从而GE=GF=22,所以SA=AB=2,以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,AB,AD,AS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),C(2,2,0),从而SC=(2,2, - 2),BC=(0,2,0).设平面BCS的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1SC=0,n1BC=0,令z1=1,可得n1=(1,0,1)为平面BCS的一个法向量.同理,可求得平面SCD的一个法向量为n2=(0,1,2).设二面角B - SC - D的平面角为,则|cos |=|n1n2|n1|n2|=223=33,故sin =1 - (33)2=63.
