1、第二讲平面向量的数量积及应用1.改编题下列说法正确的个数为()(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(3)由ab=0可得a=0或b=0.(4)(ab)c=a(bc).(5)两个向量的夹角的范围是0,2.A.2B.3C.4D.52.易错题已知两个非零向量a与b的夹角为,则“a b0”是“为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.2019全国卷,3,5分理已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A. - 3B. - 2C.2D.
2、34.2019全国卷,7,5分理已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a - b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.565.2016全国卷,3,5分理已知向量a=(1,m),b=(3, - 2),且(a+b)b,则m=()A. - 8B. - 6C.6D.86.2020合肥市调研检测已知a=(1,1),b=(2, - 1),则向量b在a方向上的投影等于.7.2017全国卷,13,5分理已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.8.2019天津,14,5分理在四边形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且A
3、E=BE,则BDAE=.考法1平面向量的数量积运算命题角度1求平面向量的数量积1(1)2019山东烟台高考前冲刺在ABC中,AB=2,AC=3,BAC=3,BD=23BC,则ADBD=A.229B. - 229C.169D. - 89(2)2019江西名校高三质检已知向量a与b的夹角为60,且a=( - 2, - 6),|b|=10,则ab=. (3)如图5 - 2 - 1,在梯形ABCD中,ABCD,CD=2,BAD=4,若ABAC=2ABAD,则ADAC=.(1)由题意作出图形,如图5 - 2 - 2.由图可得BD=23BC=23(AC-AB)= - 23AB+23AC,所以AD=AB+B
4、D=AB-23AB+23AC=13AB+23AC.所以ADBD=(13AB+23AC)( - 23AB+23AC)= - 29|AB|2+49|AC|2 - 29ABAC= - 294+499 - 29|AB|AC|cosBAC= - 89+4 - 2923cos3=229.故选A.(2)因为a=( - 2, - 6),所以|a|=(-2)2+(-6)2=210,又|b|=10,向量a与b的夹角为60,所以ab=|a|b|cos60=2101012=10.(3)解法一(利用向量的加、减法运算和数量积的定义求解)因为ABAC=2ABAD,所以ABAC-ABAD=ABAD,所以ABDC=ABAD.
5、因为ABCD,CD=2,BAD=4,所以2|AB|=|AB|AD|cos4,化简得|AD|=22.(利用ab=|a|b|cos 求解)故ADAC=AD(AD+DC)=|AD|2+ADDC=(22)2+222cos4=12.解法二(坐标法)如图5 - 2 - 3,建立平面直角坐标系xAy.依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m0,n0,则由ABAC=2ABAD,得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.故ADAC=(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12.(利用ab=x1x2+y1y2求解)命题角度2平面向量的投影
6、问题2ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足AO=12(AB+AC),|AO|=|AC|,则BA在BC方向上的投影等于A. - 32B.32C.32D.3先根据已知确定点O的位置,然后判断OAC的形状,再利用三角形的边长与内角直接求解.因为ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足AO=12(AB+AC),所以点O在BC上,且O为BC的中点,如图5 - 2 - 4,(确定点O的位置)所以BC是ABC外接圆的直径,故BAC=90.(直径所对的圆周角为直角)图5 - 2 - 4因为|CO|=|AO|=|AC|,所以OAC是等边三角形,所以ACB=60,所以ABC=30.在RtABC中,|AB|=|BC
7、|sin60=3,(解直角三角形)所以BA在BC方向上的投影为|BA|cosABC=|BA|cos30=332=32.(几何法求投影)C1.(1)已知点A( - 1,1),B(1,2),C( - 2, - 1),D(3,4),则向量CD在BA方向上的投影是()A. - 35B. - 322C.35D.322(2)2017天津,13,5分理在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE= - 4,则的值为.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题命题角度1向量的模问题3(1)2019湘中名校联考已知向量a=(x,3),b=(x, - 3),若(2a+b)b
8、,则|a|=A.1B.2C.3D.2(2)设向量a,b满足|a|=2,|b|=|a+b|=3,则|a+2b|=.(3)已知向量a=(cos ,sin ),b=( - 3,1),则|2a - b|的最大值为. (1)因为(2a+b)b,所以(2a+b)b=0,即(3x,3)(x, - 3)=3x2 - 3=0,解得x=1,所以a=(1,3),所以|a|=(1)2+(3)2=2.故选D.(2)因为|a|=2,|b|=|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=4+9+2ab=9,所以ab= - 2,所以|a+2b|=(a+2b)2=|a|2+4ab+4|b|2=4-8+36=42
9、.(3)解法一由题意得|a|=1,|b|=2,ab=sin - 3cos=2sin( - 3),所以|2a - b|2=4|a|2+|b|2 - 4ab=412+22 - 8sin( - 3)=8 - 8sin( - 3),所以|2a - b|2的最大值为8 - 8( - 1)=16,故|2a - b|的最大值为4(此时=2k - 6,kZ).解法二因为a=(cos,sin),b=( - 3,1),所以2a - b=(2cos+3,2sin - 1),所以|2a - b|=(2cos+3)2+(2sin-1)2=8-4(sin-3cos)=8-8sin(-3).故|2a - b|的最大值为8-
10、8(-1)=4(此时=2k - 6,kZ).解法三设向量a,b的起点均为坐标原点,则向量2a与b的终点均在以坐标原点为圆心、2为半径的圆上,易知|2a - b|的最大值就是圆的直径4(此时向量a,b方向相反).解法四由题意得|2a - b|2|a|+|b|=21+2=4,当且仅当向量a,b方向相反时不等式取等号,故|2a - b|的最大值为4.命题角度2求向量的夹角问题4 (1)已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2BE=BC,设向量AE,BD的夹角为,则cos =.(2)2017山东,12,5分理已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1 - e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值
11、是.(1)解法一(定义法)因为2BE=BC,所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,则|AE|=5,|BD|=22,AEBD=(AB+12AD)(AD-AB)=12|AD|2 - |AB|2+12ADAB=1222 - 22= - 2,(基向量法求数量积)所以cos=AEBD|AE|BD|=-2522= - 1010.图5 - 2 - 5解法二(坐标法)因为2BE=BC,所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,建立如图5 - 2 - 5所示的平面直角坐标系xAy,则点A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1),所以AE=(2,1),BD=( - 2,2),所以AEBD=2( - 2
12、)+12= - 2,(利用数量积公式ab=x1x2+y1y2求解)故cos=AEBD|AE|BD|=-2522= - 1010.(2)因为(3e1-e2)(e1+e2)|3e1-e2| - |e1+e2|=3-21+2,且3e1 - e2与e1+e2的夹角为60,所以3-21+2=12,解得=33.命题角度3求向量的垂直问题5(1)2016山东,8,5分理已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为A.4 B. - 4C.94D. - 94(2)2019河南郑州统一检测若向量a=(2,x),b=( - 2,1)不共线,且(a+b)(a - b),则a
13、b=.(1)由n(tm+n)可得n(tm+n)=0,即tmn+n2=0,所以t= - n2mn= - n2|m|n|cos= - |n|2|m|n|13= - 3|n|m|= - 343= - 4.故选B.(2)解法一因为a+b=(0,x+1),a - b=(4,x - 1),且(a+b)(a - b),所以04+(x+1)(x - 1)=0,解得x=1或x= - 1.(构造方程求参数)因为向量a=(2,x),b=( - 2,1)不共线,所以x= - 1不合题意.(剔除不符合题意的解)所以ab=2( - 2)+11= - 3.(利用坐标运算求数量积)解法二由已知得a=(2,x),b=( - 2
14、,1),(a+b)(a - b)=0,整理得a2=b2,即22+x2=( - 2)2+12,解得x=1或x= - 1.因为向量a=(2,x),b=( - 2,1)不共线,所以x= - 1不合题意.(剔除不符合题意的解)所以ab=2( - 2)+11= - 3.(利用坐标运算求数量积)2.(1)2020惠州市一调平面向量a与b的夹角为3,a=(2,0),|b|=1,则|a - 2b|=()A.23B.6C.0D.2(2)2017全国卷,4,5分设非零向量a,b满足|a+b|=|a - b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|(3)2019全国卷,13,5分理已知a,b为单位向
15、量,且ab=0,若c=2a - 5b,则cos=.考法3平面向量在平面几何中的应用6 2018天津,8,5分理图5 - 2 - 6,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为A.2116B.32C.2516D.3解法一(坐标法)如图5 - 2 - 7,以D为坐标原点建立平面直角坐标系xDy,连接AC,由题意知CAD=CAB=60,ACD=ACB=30,则D(0,0),A(1,0),B(32,32),C(0,3). 设E(0,y)(0y3),则AE=( - 1,y),BE=( - 32,y - 32),所以AEBE=3
16、2+y2 - 32y=(y - 34)2+2116,所以当y=34时,AEBE取最小值2116.解法二(基底法)设向量AD=a,AB=b,则ab= - 12,根据题意知|a+b|=1,|DC|=3,|AC|=2,AC=2(a+b),DC=AC-AD=a+2b,DE=DC(01),AE=AD+DE=(+1)a+2b,BE=BA+AE=(+1)a+(2 - 1)b,AEBE=(+1)a+2b(+1)a+(2 - 1)b=3( - 14)2+2116,当=14时,AEBE取最小值2116.A解法一需要考生具有较强的直观想象能力,具备灵活运用数形结合解决问题的能力,是直观想象素养水平二的要求.解法二需
17、要考生具备研究图形与图形、图形与数量的关系的能力,以及熟练运用转化与化归的数学思想的能力,是直观想象素养水平二的要求.3.2016天津,7,5分理已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AFBC的值为()A. - 58B.18C.14D.118考法4平面向量在物理中的应用7质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为,则斜面对物体的摩擦力的大小为,支持力的大小为.物体共受三个力,在三个力的作用下保持平衡,即它们的合力为0,利用物理学知识和向量的运算即可求解.如图5 - 2 - 8所示,物体受三个力:重力G(竖直向
18、下,大小为mg),斜面对物体的支持力F (垂直于斜面,向上,大小为|F |),摩擦力f (与斜面平行,向上,大小为|f |).由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0,即G+F+f =0.记垂直于斜面向下、大小为1N的力为e1,平行于斜面向下、大小为1N的力为e2,以e1,e2为基底,则F=( - |F |,0),f =(0, - |f |),由图5 - 2 - 8知e1与G的夹角为,则G=(mgcos,mgsin).由,得G+F +f =(mgcos - |F |,mgsin - |f|)=(0,0),所以mgcos - |F|=0,mgsin - |f |=0.故|F |=mgcos,|f
19、|=mgsin.当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.考法5平面向量与其他知识的综合应用命题角度1平面向量与三角函数综合8 2017江苏,16,14分理已知向量a=(cos x,sin x),b=(3, - 3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f (x)=ab,求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.(1)利用向量共线的坐标运算法则及同角三角函数间的关系求解;(2)利用向量数量积的坐标运算、两角和的余弦公式,结合三角函数的图象求
20、解最值.(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3, - 3),ab,所以 - 3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx0.于是tanx= - 33.又x0,所以x=56.(2)f (x)=ab=(cosx,sinx)(3, - 3)=3cosx - 3sinx=23cos(x+6).因为x0,所以x+66,76,从而 - 1cos(x+6)32.于是,当x+6=6,即x=0时,f (x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时,f (x)取到最小值 - 23.4.2020成都市高三摸底测试ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,
21、c.若向量m=(a, - cos A),n=(cos C,2b - c),且mn=0,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.2命题角度2平面向量与解析几何的综合9 2018全国卷,8,5分理设抛物线C:y2=4x的焦点为F ,过点( - 2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=A.5B.6C.7D.8解法一过点( - 2,0)且斜率为23的直线的方程为y=23(x+2),由y=23(x+2),y2=4x,得x2 - 5x+4=0,解得x=1或x=4,所以x=1,y=2或x=4,y=4,不妨设M(1,2),N(4,4),易知F (1,0),所以FM=(0,2),FN=(3,4
22、),所以FMFN=8.解法二过点( - 2,0)且斜率为23的直线的方程为y=23(x+2),由y=23(x+2),y2=4x,得x2 - 5x+4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),y10,y20,根据根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=4,易知F (1,0),所以FM=(x1 - 1,y1),FN=(x2 - 1,y2),所以FMFN=(x1 - 1)(x2 - 1)+y1y2=x1x2 - (x1+x2)+1+4x1x2=4 - 5+1+8=8.D5.如图5 - 2 - 9,已知A,B是椭圆x24+y2=1的右顶点和上顶点,由椭圆弧x24+y2=1(x0,y0)和线段AB
23、及其内部构成的区域为,P是区域内任意一点(包括边界).设OP=OA+OB,则动点M(,)所构成的区域 的面积是.数学探究平面向量中的最值、范围问题10(1)2017全国卷,12,5分理已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是A. - 2B. - 32C. - 43D. - 1解法一结合题意画出图形,如图5 - 2 - 10所示,设BC的中点为D,AD的中点为E,连接AD,PE,PD,则有PB+PC=2PD,则PA(PB+PC)=2PAPD=2(PE+EA)(PE-EA)=2(PE2-EA2).而EA2=(32)2= - 34,当点P与点E重合时,P
24、E2有最小值0,故此时PA(PB+PC)取得最小值,最小值为 - 2EA2= - 234= - 32.解法二如图5 - 2 - 11,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,3),B( - 1,0),C(1,0),设P(x,y),则PA=( - x,3 - y),PB=( - 1 - x, - y),PC=(1 - x, - y),所以PA(PB+PC)=( - x,3 - y)( - 2x, - 2y)=2x2+2(y - 32)2 - 32,当x=0,y=32时,PA(PB+PC)取得最小值,最小值为 - 32.B11 2018浙
25、江,9,4分已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2 - 4eb+3=0,则|a - b|的最小值是A.3 - 1 B.3+1 C.2D.2 - 3已知条件中a,b没有关系,所求结果中却有直接关系|a - b|表示两向量终点间的距离,要求最小值,分别求出终点的轨迹建立坐标系,a的终点轨迹是射线,b的终点轨迹是圆圆上与直线上两个动点间的距离的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径解法一设O为坐标原点,a=OA,b=OB=(x,y),e=(1,0),由b2 - 4eb+3=0得x2+y2 - 4x+3=0,即(x - 2)2+y2=1,所以点B的轨迹是以C(
26、2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为3,所以不妨令点A在射线y=3x(x0)上,当C,B,A共线且OACA时,如图5 - 2 - 12所示,由数形结合可知|a - b|min=|CA| - |CB|=3 - 1.解法二由b2 - 4eb+3=0得b2 - 4eb+3e2=(b - e)(b - 3e)=0.设b=OB,e=OE,3e=OF,所以b - e=EB,b - 3e=FB,所以EBFB=0,取EF 的中点为C,则点B在以C为圆心,EF 为直径的圆上,如图5 - 2 - 13.设a=OA,作射线OA,使得AOE=3,所以|a - b|=|(a - 2e)+(2e - b)|a
27、 - 2e| - |2e - b|=|CA| - |BC|3 - 1.A6.2015湖南,8,5分,理已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.91.A对于(1),向量的投影是数量,故(1)正确;对于(2),由数量积的定义及向量的运算法则可知,(2)正确;对于(3),当ab时,ab=0,故(3)错误;对于(4),向量数量积运算不满足结合律,故(4)错误;对于(5),两个向量的夹角的范围是0,故(5)错误;综上选A.2.B由ab0,可得到0,2),不能得到(0,2);而由(0,2),可以得到ab0.故
28、选B.【易错点拨】(1)当ab0时,cos0,则是锐角或=0(此时cos=1);(2)当ab0时,cos0,则是钝角或=180(此时cos= - 1).3.C因为BC=AC - AB=(1,t - 3),所以|BC|=1+(t - 3)2=1,解得t=3,所以BC=(1,0),所以ABBC=21+30=2,故选C.4.B解法一设a与b的夹角为,(a - b)b,(a - b)b=0,ab=b2,|a|b|cos =|b|2,又|a|=2|b|,cos =12,0,=3.故选B.解法二令OA=a,OB=b,在OAB中(如图D 5 - 2 - 1),则BA=a - b,由(a - b)b知,ABO
29、=2,OAB是直角三角形,又|a|=2|b|,所以AOB=3,即a与b的夹角为3,故选B.图D 5 - 2 - 1【易错警示】本题易错点有两处:一是两向量的夹角公式记错,导致结果错误;二是由三角函数值求角时易出错.5.D由向量的坐标运算得a+b=(4,m - 2),由(a+b)b,得(a+b)b=12 - 2(m - 2)=0,解得m=8,故选D.6.22由题意,得b在a方向上的投影为ab|a|=12+1( - 1)12+12=22.7.23易知|a+2b|=|a|2+4ab+4|b|2=4+42112+4=23.8. - 1 解法一在等腰ABE中,易得BAE=ABE=30,故BE=2,则BD
30、AE=(AD - AB)(AB+BE)=ADAB+ADBE - AB2 - ABBE=523cos 30+52cos 180 - 12 - 232cos 150=15 - 10 - 12+6= - 1.解法二建立如图D 5 - 2 - 2所示的平面直角坐标系,DAB=30,AB=23,AD=5,图D 5 - 2 - 2则B(23,0),D(532,52).因为ADBC,BAD=30,所以ABE=30,因为AE=BE,所以BAE=30,所以直线BE的斜率为33,其方程为y=33(x - 23),直线AE的斜率为 - 33,其方程为y= - 33x.由y=33(x - 23),y= - 33x得x
31、=3,y= - 1,所以E(3, - 1).所以BDAE=(32,52)(3, - 1)= - 1.1.(1)A依题意,得BA=( - 2, - 1),CD=(5,5),所以BACD= - 15,|BA|=5,因此向量CD在BA方向上的投影是BACD|BA|= - 155= - 35,故选A.(2)311解法一AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC - AB)=13AB+23AC.又ABAC=3212=3,所以ADAE=(13AB+23AC)( - AB+AC)= - 13|AB|2+(13 - 23)ABAC+23|AC| 2= - 3+3(13 - 23)+234=113 -
32、5= - 4,则=311.解法二以点A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,3).由BD=2DC,得D(53,233),由AE=AC - AB,得E( - 3,3),则ADAE=(53,233)( - 3,3)=53( - 3)+2333=113 - 5= - 4,则=311.2.(1)D因为|a|=2,|b|=1,平面向量a与b的夹角为3,所以ab=21cos3=212=1,所以|a - 2b|=|a - 2b|2=a2 - 4ab+4b2=4 - 4+4=2,选D.(2)A依题意得(a+b)2 - (a - b
33、)2=0,所以4ab=0,即ab,选A.(3)23设a=(1,0),b=(0,1),则c=(2, - 5),所以cos=214+5=23.3.B如图D 5 - 2 - 3,设AC=m,AB=n.图D 5 - 2 - 3根据已知得,DF=34m,所以AF=AD+DF=34m+12n,BC=m - n,AFBC=(34m+12n)(m - n)=34m2 - 12n2 - 14mn=34 - 12 - 18=18.4.B解法一由mn=0,得acos C - (2b - c)cos A=0,由正弦定理,得sin Acos C - (2sin B - sin C)cos A=0,即sin Acos C
34、+cos Asin C = 2sin Bcos A,所以sin (A+C)=2sin Bcos A,所以sin ( - B)=2sin Bcos A,即sin B=2sin Bcos A.因为0B,所以cos A=22,所以A=4,故选B.解法二由mn=0,得acos C - (2b - c)cos A=0,由余弦定理,得aa2+b2 - c22ab - 2bcos A+cb2+c2 - a22bc=0,即2b=22bcos A,因为b0,所以cos A =22,所以A=4,故选B.5.4 - 12易知点A(2,0),B(0,1),所以直线AB的方程为x2+y=1,即2y=2 - x.设点P(
35、x,y),由题意及题图可得x24+y21,2y2 - x.由OP=OA+OB,得(x,y)=(2,0)+(0,1),即x=2,y=,所以(2)24+21,22 - 2,化简得2+21,1 - .显然该不等式组表示的平面区域(如图D 5 - 2 - 4中的阴影部分)即动点M(,)所构成的区域 .故区域 的面积是1412 - 1211=4 - 12.图D 5 - 2 - 46.B解法一因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故PA+PC=2PO=( - 4,0),|PA+PB+PC|=|2PO+PB|2|PO|+|PB|,又|PB|PO|+1=3,所以|PA+PB+PC|4+3=7,故|PA+PB+PC|的最大值为7,选B.解法二因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,所以不妨设A(cos x,sin x),B(cos(x+),sin(x+)(k,kZ),C( - cos x, - sin x),PA+PB+PC=(cos(x+) - 6,sin(x+),|PA+PB+PC|=cos(x+) - 62+sin2(x+)=37 - 12cos(x+)7,故选B.
