1、第六讲函数的图象1.改编题下列说法正确的是()A.若函数y=f (x)满足f (1+x)=f (1 - x),则函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f (x)满足f (x+1)=f (x - 1),则函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称C.当x(0,+)时,函数y=f (|x|)的图象与y=|f (x)|的图象相同D.函数y=f (1 - x)的图象可由y=f ( - x)的图象向左平移1个单位长度得到2.2019全国卷,7,5分理函数y=2x32x+2-x在 - 6,6上的图象大致为()3.2020石家庄市高三测试已知函数f (x)=1,x0,0,x=0,-1,x0
2、,则函数g(x)=f (x)(ex - 1)的大致图象是() ABC D4.2018全国卷,7,5分下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1 - x)B.y=ln(2 - x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)5.2015新课标全国,12,5分设函数y=f (x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y= - x对称,且f ( - 2)+f ( - 4)=1,则a=()A. - 1B.1C.2D.46.设f (x)=|lg(x - 1)|,若1a0,所以排除C;因为f (1)=sin1+1cos1+1,且sin1cos1,所以f (1)1,所以
3、排除B.选D.D排除法是解决判断函数图象问题的主要方法,即根据函数的单调性、函数图象与两坐标轴的交点位置、函数值的符号等排除干扰项,从而得出正确的结果.命题角度2已知函数图象求解相关问题2 2020江西五校联考函数f (x)的大致图象如图2 - 6 - 1所示,则函数f (x)的解析式可以是A.f (x)=x2sin|x|B.f (x)=(x - 1x)cos 2xC.f (x)=(ex - e - x)cos(2x)D.f (x)=xln|x|x|由题中图象可知,函数在原点处没有定义,故函数的定义域为x|x0,故排除选项A,C;又函数图象与x轴只有两个交点,对于函数f (x)=(x - 1x
4、)cos2x,cos2x=0有无数个根,故排除选项B.选D.D命题角度3借助动点探究函数图象32015新课标全国,10,5分理如图2 - 6 - 2,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则y=f (x)的图象大致为ABCD根据动点在不同位置的图象的特征,排除不符合要求的选项,从而得出结果.由题易知f (0)=2,f (4)=1+5,f (2)=220,b0,d0B.a0,b0,c0C.a0,b0,d0D.a0,b0,c0,d0(3)2019江西九江四校联考如图2 - 6 - 4
5、所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从点A出发沿着圆弧按AOBCADB的路线运动(其中A,O1,O,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O1P|2,y与x的函数解析式为y=f (x),则y=f (x)的图象大致是()考法2 函数图象的应用命题角度1利用函数的图象研究函数性质4已知函数f (x)=x|x| - 2x,则下列结论正确的是A.f (x)是偶函数,递增区间是(0,+)B.f (x)是偶函数,递减区间是( - ,1)C.f (x)是奇函数,递减区间是( - 1,1)D.f (x)是奇函数,递增区间是( - ,0)由
6、题意得f (x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0,画出函数f (x)的图象,如图2 - 6 - 5,观察图象可知,函数f (x)的图象关于原点对称,故函数f (x)为奇函数,且在( - 1,1)上单调递减.C命题角度2利用函数的图象研究不等式5函数f (x)是定义在 - 4,4上的偶函数,其在0,4上的图象如图2 - 6 - 6所示,那么不等式f(x)cosx0;当x(2,4)时,y=cosx0.结合y=f (x)在0,4上的图象知,当1x2时,f(x)cos x0.易知函数y=f(x)cosx为偶函数,所以在 - 4,0上,f(x)cosx0的解集为( - 2, - 1),所以f(x)
7、cosx0的解集为( - 2, - 1)(1,2).命题角度3利用函数图象的对称性求值6函数y=ln|x - 1|的图象与函数y= - 2cos x( - 2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于A.3B.6C.4D.2先分析两函数图象的对称性,然后根据对称性确定交点的横坐标之和.由图象变换的法则可知,将y=lnx的图象作关于y轴的对称变换,得到的图象和原来的图象一起构成y=ln|x|的图象,将函数y=ln|x|的图象向右平移1个单位长度,得到y=ln|x - 1|的图象,函数y= - 2cosx的最小正周期T=2,在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln|x - 1|与函数y= - 2cosx(
8、 - 2x4)的图象如图2 - 6 - 7所示,两函数的图象都关于直线x=1对称,且有3对交点,每对交点关于直线x=1对称,故所有交点的横坐标之和为23=6.B命题角度4利用函数图象解决函数零点问题7 2020江西省南康中学、于都中学联考已知定义在R上的函数y=f (x)对任意的x都满足f (x+1)= - f (x),当 - 1x1时,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f (x)与h(x)=loga|x|的图象如图2 - 6 - 8所示,根据图象可得loga55.图2 - 6 - 8 图2 - 6 - 9当0a1时,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f (x)与h(x)=loga|x|的图象
9、如图2 - 6 - 9所示,根据图象可得loga5 - 1,即00.若|f (x)|ax恒成立,则a的取值范围是()A.( - ,0B.( - ,1C. - 2,1D. - 2,0(4)设函数f (x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f (x+1)=f (x - 1),已知当x0,1时,f (x)=(12)1 - x,则:2是函数f (x)的周期;函数f (x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增;函数f (x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f (x)=(12)x - 3.其中所有正确命题的序号是.思想方法数形结合思想在函数问题中的应用8 2019江苏,14,5
10、分设f (x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f (x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当x(0,2时,f (x)=1-(x-1)2,g(x)=k(x+2),0x1,-12,10.若在区间(0,9上,关于x的方程f (x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.当x(0,2时,令y=1-(x-1)2,则(x - 1)2+y2=1,y0,则可得f (x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆,利用f (x)是奇函数,且周期为4,画出函数f (x)在(0,9上的图象,再在同一坐标系中作出函数g(x)在(0,9上的图象,如图2 - 6 - 10,关于x的方程f
11、 (x)=g(x)在(0,9上有8个不同的实数根,即两个函数的图象有8个不同的交点,数形结合知g(x)(x(0,1)与f (x)(x(0,1)的图象有2个不同的交点时满足题意,当直线y=k(x+2)经过点(1,1)时,k=13,当直线y=k(x+2)与半圆(x - 1)2+y2=1(y0)相切时,|3k|k2+1=1,解得k=24或k= - 24(舍去),所以k的取值范围是13,24).2701.A由函数的性质知A正确,B错误;令f (x)= - x,则当x(0,+)时,f (|x|)=f (x)= - x,|f (x)|=x,f (|x|)|f (x)|,故C错误;y=f ( - x)的图象
12、向左平移1个单位长度得到y=f ( - x - 1)的图象,故D错误.2.B令f (x)=y=2x32x+2 - x,则f ( - x)= - 2x32 - x+2x= - f (x),且x - 6,6,所以函数y=2x32x+2 - x为奇函数,排除C;当x0时,f (x)=2x32x+2 - x0恒成立,排除D;因为f (4)=26424+2 - 4=12816+116=128162577.97,排除A.故选B.3.D解法一g(x)=f (x)(ex - 1)=ex - 1,x0,0,x=0,1 - ex,x0时,将函数y=ex的图象向下平移一个单位长度得到函数y=ex - 1的图象,当x
13、0,0,x=0,1 - ex,x0,排除A,当x= - 1时,g(x)0,排除B,当x - 时,g(x)1,排除C,选D.4.B解法一设所求函数图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1对称的点的坐标为(2 - x,y),由对称性知点(2 - x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(2 - x).故选B.解法二由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上,也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除选项A,C,D,选B.5.C设(x,y)是函数y=f (x)图象上任意一点,它关于直线y= - x对称的点为( - y, - x),由函数y=f (
14、x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y= - x对称,可知点( - y, - x)在y=2x+a的图象上,即 - x=2 - y+a,解得y= - log2( - x)+a,所以f ( - 2)+ f ( - 4)= - log22+a - log24+a=1,解得a=2,故选C.6.(4,+)画出函数f (x)=|lg(x - 1)|的图象,如图D 2 - 6 - 1所示.图D 2 - 6 - 1由1a2ab(由于a4.1.(1)D当x=0时,y=2,排除选项A,B.y = - 4x3+2x,令y =0,得x=0或x=22,结合三次函数的图象特征,知原函数在( - 1,1)上有三个极值点,
15、排除选项C,选D.(2)A当x0,时,y=1.当x(,2)时,O1P=O2P - O2O1,设O2P与O2O1的夹角为,易知|O2P|=1,|O2O1|=2,=x - ,y=|O1P|2=(O2P - O2O1)2=5 - 4cos =5+4cos x,x(,2),当x(,2)时,函数y=f (x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.当x2,4时,O1P=OP - OO1,设OP与OO1的夹角为,易知|OP|=2,|OO1|=1,=2 - 12x,y=|O1P|2=(OP - OO1)2=5 - 4cos =5 - 4cos12x,x2,4,当x2,4时,函数y=f (x)的图象是曲线,且单
16、调递减,排除B,选A.2.(1)B因为f (x)+f ( - x)=2,y=x+1x=1+1x,所以函数y=f (x)与y=x+1x的图象都关于点(0,1)对称,所以i=1mxi=0,i=1myi=m22=m,所以i=1m(xi+yi)=m,故选B.(2)C函数f (x)=lg x - sin x的零点个数即函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=lg x和y=sin x的图象如图D 2 - 6 - 2所示.显然,函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数为3,故选C.图D 2 - 6 2(3)D由y=|f (x)|的图象(
17、如图D 2 - 6 - 3所示)知,当x0时,只有a0时才能满足|f (x)|ax.当x0时,y=|f (x)|=| - x2+2x|=x2 - 2x.故由|f (x)|ax得x2 - 2xax.当x=0时,不等式为00,成立;当x0时,不等式等价为x - 2a.因为x - 2 - 2,所以a - 2.综上可知,a - 2,0.图D 2 - 6 - 3(4)由已知条件得f (x+2)=f (x),则y=f (x)是以2为周期的周期函数,正确;当 - 1x0时,0 - x1,f (x)=f ( - x)=(12)1+x,画出函数y=f (x)的部分图象如图D 2 - 6 - 4所示.图D 2 - 6 - 4由图象知正确,不正确;当3x4时, - 1x - 40,f (x)=f (x - 4)=(12)x - 3,因此正确,故正确命题的序号为.
