1、3.1.1 两角差的余弦公式 梁河县第一中学 杨连胜教学内容及其解析【内容】本课是普通高中课程标准试验教科书数学必修4（人教A版2007年2月第2版）的第三章第一节第1课内容。【解析】 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同
2、时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出-角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;探索过程不应追求一步到位,应先不
3、去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.教学目标及其解析【目标】1.知识与技能引导学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解。2.过程与方法通过探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”， 培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解
4、决问题的能力.3.情感态度与价值观通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.【解析】通过在创设问题的情景中，引导学生探索、猜想、发现并推导，由特殊到一般发现两角差的余弦公式的内容并会推导两角差的余弦公式。本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的由来;使学生认识公式的结构特征,加以记忆;使学生掌握公式的推导和证明;通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答
5、有关问题.重难点：教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导.教学问题诊断分析1学生在利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,并构造出-角,利用学过的三角函数知识探索时可能会出现障碍，原因是学生不能对三角函数线进行灵活的转化。要克服这一困难，关键是教师要作恰当的引导.2学生在利用向量知识探索两角差的余弦公式时，又可能会出现障碍，原因是他们对向量方法难以灵活应用，对、及向量夹角的关系难以找出。要克服这一困难，关键是教师要作恰当的引导.并结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备，探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索
6、,然后再反思,予以完善。教学支持条件分析为了加强学生对两角差的余弦公式的推导方法的掌握，帮助学生克服在推导过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用多媒体课件动态地研究两角差的余弦公式与三角函数线和向量知识的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维教学过程设计一、基本流程提出问题推导公式例题讲解目标检测课堂小结二、教学情景（一）知识点教学【问题提出】我们在初中时就知道对于30，45，60等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150，210，315等角的三角函数值. 由此我们能否得到cos15=cos(45-3
7、0)=?这里是不是等于cos45-cos30呢？ 设计意图由此展开新课。师生活动教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.探究1：利用特殊三角函数值探究两角差的余弦公式【问题1】设，为两个任意角, 你能判断cos()coscos恒成立吗?设计意图让学生明白,要想说明此式正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.师生活动教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如=60,=30,则cos(-)=cos30=,而cos-
8、cos=cos60-cos30=,这一反例足以说明cos(-)cos-cos.【问题2】我们设想cos()的值与，的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？【问题3】一般地，你猜想cos()等于什么？设计意图让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想探究2：利用单位圆上的三角函数线探究两角差的余弦公式【问题1】如图1,设，为锐角，且，角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么cos()表示哪条线段长？图1【问题2】如何用线段分别表示sin和cos？【问题3】过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C,为什么
9、？【问题4】coscosOAcos，它表示哪条线段长？sinsinPAsin，它表示哪条线段长？【问题5】利用OMOBBMOBCP可得什么结论？【问题6】上述推理能说明对任意角，都有cos()coscossinsin成立吗？设计意图引导学生利用三角函数线推导两角差的余弦公式师生活动教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果是否对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.探究3：利用向量的知识探究两角差的余弦公式【问题1】根据coscossinsin的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗
10、？【问题2】如图，设角，的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、 坐标分别是什么？其数量积是什么？图2 【问题3】设向量的夹角,则根据数量积定义，等于什么？【问题4】由图可知向量的夹角与，有什么关系？由此你可以得到什么结论？【问题5】公式cos()coscossinsin称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？教师引导学生细心观察公式C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,
11、只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了.设计意图引导学生利用向量知识推导两角差的余弦公式。师生活动教师引导学生进行推理。（二）例题讲解例1 利用差角余弦公式求cos15的值.变式：不查表求sin75的值.设计意图 通过例题及变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。师生活动教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,
12、然后利用公式C(-)即可求解.（三）目标检测1. cos110cos20sin110sin20= 2. sinxsin(x+y)cosxcos(x+y)= 3. 利用公式证明：（1） （2）（四）课堂小结先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.设计意图通过小结让学生对本节课所学内容更加熟悉。师生活动教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号. 配餐作业A组题1.习题3.1A组1.（1）、（3）；2计算cos 80cos 20sin 80sin 20的值为()A. B. C. DB组题1. cos 75cos 30sin 75sin 30 = 2. 利用差角余弦公式求cos165的值.C组题不查表计算下列格式的值。（1） （2）
